分形理论及其应用

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1、分形理论及其应用分形理论简介应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究应用实例之二：沙漠化的分形研究应用实例之三：R/S分析法在城市气候研究中的应用分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无限提供了一种新的工具。分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、社会分形、经济分形、思维分形等。分形理

2、论，被广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科——分形地理学。分形的有关概念(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那些几何形体才是分形。(2)特征尺度,是指某一事物在空间，或时间方面具有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去量测。凡是具有自相

3、似结构的现象都没有特征尺度,分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区，用来表征的特征量是分形维数。分形维数的定义和测算维数是几何对象的一个重要特征量，传统的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的几何形体。按照传统几何学的描述，点是零维，线是一维，面是二维，体是三维。但仔细观看，对于大自然用分型维数来描述可能会更接近实际。几种测定分维数拓扑维数一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点的位置所需要的独立坐标数目。对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所需要的小正

4、方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式若r=1/4，则当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子数目N(r)和所用尺度r的关系为变形得定义为拓扑维数（2）Hausdorff维数几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种

5、极限图形，可以得出分形维数的定义：上式就是Hausdorff分形维数，通常也简称为分维。拓扑维数是分维的一种特例，分维D0大于拓扑维数而小于分形所位于的空间维数。两个实例可以用分形模拟真实的海岸线。首先在单位长度的一条直线的中间1/3处凸起一个边长为1/3的正三角形，下一步是在每条直线中间1/3处凸起一个边长为(1/3)2的正三角，如此无穷次地变换下去，最后就会得到一个接近实际的理想化的海岸线分形。每次变换所得到的图形，相当于用尺度r对海岸线分形进行了一次测量，如果设尺度r测得覆盖海岸线的盒子数为N(r)，海岸

6、线的长度为L(r)，有：当r=1/3时，当r=(1/3)2时，……………当r=(1/3)n时，根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是显然，L(r)与N(r)之间的关系是所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合，拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0,1)区间上的线段分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等

7、份后去掉中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是(3)信息维数如果将每一个小盒子编上号，并记分形中的部分落入第i个小盒子的概率为Pi，那么用尺度为r的小盒子所测算的平均信息量为若用信息量I取代小盒子数N(r)的对数就可以得到信息维D1的定义如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设分形中

8、的部分落入每个小盒子的概率相同，即可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1