差分方程周期正解的存在性

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1、山西大学硕士学位论文差分方程周期正解的存在性姓名：高英申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：燕居让20060601摘要第一章综述了差分方程的一些基本概念和研究概况，并介绍了在研究中常用的一些不动点定理，微分方程的研究方法极大促进了差分方程的研究进度．两者在方法上有许多类似之处．第二章以马尔萨斯人口模型为基础讨论更一般的单种群生长率问题，方法上依赖于锥压缩和锥拉伸Krasnoselskii不动点定理．第三章是将第二章中的思想方法推广为两种群共生周期系统模型，在适当的条件下，建立了系统存在一个或多个周期解的存在性定理，这种方法

2、显然也适合多种群模型．而且这类系统周期解的存在性问题目前尚未见到文献发表．关键词：差分方程；时滞；周期正解；锥；不动点定理AbstractTheresearchonthedifferentialequationisconducivetothedifferenceequationandtheyhavemanysimilaritiesintheresearchmethod．InChapterOne，somebasicconceptionsandresearchesofthedifferenceequationaresummariz

3、edandsomefixed—pointtheoremsinresearchareshowedThediscussionbasedonMalthusPopulationModelconcernstheone-typegrowthrate，whichdependsonKrasnoselskiiFixed—pointTheoremInChapterThree，themethodinChapterTwohasbeenextendedintotwo—typecomensalcyclicsystemmodels．Undersuitabl

4、econdition，theexistinglawofperiodicalsolutionisfittomulti—typepatternsandisnotyetdocumentedKeywords：differenceequation；delay；periodicalpositivesolution；cone；fixed—pointtheorem第一章差分方程及其基本概念第一节引言一个差分方程实际上就是一个递推序列x。+々=F(n，x。+Il，一，x。)(1．1)其中≈是一个正整数．n=o，l，2，⋯，F∈(Ⅳ×R‘，R)且

5、对于固定n来说是一个连续函数．方程(1．1)被称做是一个k阶差分方程，这是因为(1．1)中的最大足码n+k与最小足码n的差是k．(1．1)中的一个解是指一个数列扛。}：。，当n2k时满足方程(1·1)．由于(1．1)是～个递推序列，显然如果给定初始条件{吼}二，我们可依次算出X。，xM，⋯设‘为某人或某公司在离散时刻t时手中的财富，当t=O时其手中的财富设为x0如果将x0的财富存入银行，而利率为r，则显然有xI=x0+肘o=(1+r)xo，T2=xI+rx『=(1十r)xi．一般地，形如Xl+l2(1+，)Xt，t=0，1，2

6、，．．．(1．2)f}勺递推序列或差分方程(1．2)是一个众所周知的存款模型，它还可以写成xf+I=甜，，，=0,1，2，⋯现在，再假设某人或某公司手中的财富不只存款而且还要投资，投资应有回报率，设其为b，另外，回报会有一个时滞，设其为t，这时的财富模型为x⋯=黜，+bx。，f=O，1，2，⋯(1．3)在经济活动中，周期现象及非线性行为随处可见，因此，一个更～般的经济模型应浚是x⋯2口，x，+2b，f(x。⋯)，，=O，l：2，⋯(1．4)其中，k，攫。，池)二，⋯，{x，)羔。是整数值数列．作为经济学模型(1．4)非退化周期

7、解的存在性，首先由[4]中给出研究．而事实上，(1．4)也被看作是一个单种群生长模型确实，方程(1．2)就是著名的马尔萨斯种差分方程周期正解的存在性群模型，而方程(1．3)也可视为依赖于前t代的种群模型，(1．4)N是一个更一般的模型．关于方程(1．4)的特殊情况周期正解的存在性可参见文献f6】．由于医学，生物数学，现代物理等自然科学和边缘性学科的进一步发展，提出了许多由差分方程描述的具体的数学模型，在微分方程离散化方法的研究中，也出现了许多差分方程，我们不能仅局限于对差分方程的迭代计算，而应对差分方程的解序列的存在性及稳定性

8、等进行分析．自二十世纪八十年代人们在差分方程中引入泛函微分方程的方法以来，使这一领域的研究得到快速发展．第二节基本概念△是差分算子，它在差分表达式中随时可见，其含义为△x。=x。+l—X．，A。=△(△“一‘)．山差分算子的定义不难看出，对任意的常数口，口，有△GⅨ。+Py。