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1、习题与解答1.213.把10本书任意的放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率解10本书任意的放在书架上所有可能的放法数为10!，这是分母，若把指定三本书看作一本“厚书”，则与其他的7本书一起随意放，有8!种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的三本书作全排列，共有3!种可能放法。故共有8!×3!种可能放法,这是分子,于是所求概率为14.n个人随机的围一圆桌而坐,求甲乙二人相邻而坐的概率解设甲已先坐好,再考虑乙的坐法,显然乙总共有n-1个位置可坐,且这n-1个位置都是等可能的,而乙与甲相邻有两个位置,因此所求概率为2/n-115.5个人在
2、第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率解若把楼层看成是盒子,人看成是球.则此题是5个球向10个盒子里放,且每个盒子可以放多个球,根据盒子模型,10个盒子中的5个盒子各有一球的概率为16.一个人把六根草紧握在手中,仅露出他们的头和尾,然后随机的把六个头两两相接,六个尾也两两相接.求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.解因为”六个尾两两相接”不会影响是否成环,所以我们只需考虑”六个头两两相接”可能出现的情况.若考虑头两两相接的前后次序,则”六个头两两相接”共有6!种不同结果,即先从6个
3、头中任取一个,与余下的5个头中的任一个相接,然后从未接的4个头中任取1个,与余下的3个头中的任一个相接;最后从未接的2个头中任取1个,与余下的最后1个头相接,这总共有6!种可能接法,这是分母,而要成环则第一步从6个头中任取1个,此时余下的5个头中有1个不能相接,只可与余下的4个头中的任一个相接;第二步从未接的4个头中任取1个,与余下的2个头中的任1个相接;最后从未接的2个头中任取1个,与余下的最后一个头相接,这总共有种可能接法，由此得所求概率为思考：若将此题改写成“2n根草”，则恰巧连成一个环的概率是多少？17.把n个“0”与n个”1“随机地排列，
4、求没有两个”1“连在一起的概率。解考虑n个“1”的放法：2n个位置上“1”占有n个位置，所以共有种放法，这是分母，而“没有两个1连在一起”，相当于在n个“0”之间及两头（共n+1个位置）去放“1”，这共有种放法，于是所求概率为具体可以算得：随着n的增加，此种事件发生的概率愈来愈小，最后趋于零.18.口袋中有n个白球,n个黑球,从中一个一个不返回地摸球,直至摸完止.求黑白球恰好相间取出的概率为注意:本题与第17题是有差别的,譬如在n=3时,样本点(101001)与(100101)允许在第17题的分子中出现,而不允许在本题中出现,19.n个男孩,m个女
5、孩(mn+1)随机地排成一排,试求任意两个女孩都不相邻的概率.解仿17题,将n个男孩看成是n个”0”,m个”1”,而”任意两个女孩都不相邻”则相当于”没有两个1连在一起”,于是在mn+1时,所求概率为譬如,等.20.将3个球随机地放入4个杯子中取,求杯子中球地最大个数分别为1,2,3地概率各为多少?解3个球随机地放入4个杯子中,共有种可能情况,这是分母,若记事件A为”杯子中球的最大个数为1”,B为”杯子中球的最大个数为2”,C为”杯子中球的最大个数为3”.可知A,B,C互不相容,且其并为必然事件,事件A发生只可能是:第一个球随机放入4个杯子中的任一
6、个,第二个球随机放入余下的3个杯子中的任一个,第三个球随机放入余下的2个杯子中的任一个,这共有种可能情况,所以事件C发生只有4种可能情况:3个球全部放在第一,或第二,或第三,或第四个杯子中,所以21.将12个球随意地放入3个盒子中,试求第一个盒子中3个球的概率,解将12个球随意放入3个盒子中,所有可能的结果共有个,而事件”第一个盒子中有3个球”可分两步来考虑:第一步,13个球中任取3个放在第一个盒子中,这有种可能;第二步,将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中,这有种可能,于是所求概率为22.将n个完全相同的球(这时也称球是不可辩的)随机的放入
7、N个盒子中,试求:(1)某个指定的盒子中恰好有k个球的概率;(2)恰好有m个空盒的概率;(3)某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率;解先求样本点总数.我们用N+1根火柴棒排成一行,火柴之间的N个间隔恰好形成N个盒子,并依次称它们为第1个盒子,第2个盒子,….第N个盒子,n个球用”0”表示,考虑到两端必须是火柴棒方能形成N个盒子,所以n个(不可辨)球放入N个(可辨)盒子中,就相当于把N-1根火柴棒(N+1根火柴棒中去掉两端的两根)和n个”0”随机地排成一行.譬如N=4,n=3时,”10010111”表示第一个盒子中有2个球,第2个盒子中有1个球,第3
8、,4个盒子中无球.这样一来,n个球放入N个盒子所有的样本点总数相当于:从N-1+n个位置任选n个位置放”0”,其他位置放火
