现代信号理论讲义3(信号的表示)

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1、第三章信号的矢量表示信号的表示信号:随时间或空间变化的物理量。怎样高效的表示信号？信号的特征表示：信号逼近信号的矢量表示表示的可行性？唯一性？线性独立、基和维数:线性独立（线性空间的概念）线性独立保证表示的唯一性。基空间的最大线性独立组线性空间的基不是唯一的。维数最大线性独立组中矢量的个数。表示的实现：怎样得到信号的参数（离散）表示？？分析：解线性方程组矩阵表示：称a为信号x的矢量表示（相对基φ）思考：上面用来作内积的矢量必须是基中成员吗？怎样建立一个线性方程组，使求解更容易？怎样选择基？正交基：双正交性双正交基（逆转基）：

2、L2空间信号的最佳逼近和投影定理：问题有限维空间M以外的信号如何表示：思路有限维空间以外的信号用距离最近的M中信号表示。投影定理：最小均方下的最佳逼近多维空间中的最佳逼近：问题的描述：？证明：正交投影的计算：解线性方程组基的正交化：Gram-Schmidt正交化过程问题：找一组两两正交的单位矢量e1e2en使e1e2en与a1a2an等价。称为把a1a2an规范正交化问题。正交化方法过程：设a1a2an是基取矢量组容易验证b1b2bn两两正交且b1

3、b2bn与a1a2an等价正交化方法过程：把b1b2br单位化即得Mn的一个规范正交基信号空间内积的不同定义，将产生不同的正交性，从而有不同的正交函数（信号）集合。常用正交函数集合：权内积权内积权函数复正弦函数：傅立叶级数展开采样函数：采样定理采样函数：重构公式勒让德正交多项式：采用Gram-Schmidt正交化过程，由区间[-1，1]上的幂函数产生的规范正交多项式。通过函数映射，可以推广到任意区间。切比雪夫正交多项式：采用权函数的权内积，由区间[-1，1]上的幂函数产生的规范正交多项

4、式。通过函数映射，可以推广到任意区间。随机信号的正交展开：希望能通过一组规范正交基来表征随机信号。用一组随机变量表示随机信号。分析（利用离散采样）问题：随机变量不是统计独立的，其信号特性难以分析。分析：用一组规范正交基来表征随机信号。选择适当的正交基，使得到的随机变量互不相关。分析：转换为解积分方程。积分方程核函数分析：利用随机信号相关函数的特征值和特征向量，得到展开系数的互不相关性。Karhunen_Loeve变换