数理方程总复习

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1、第一章典型方程及定解条件1三种典型方程波动方程，双曲型热传导方程，抛物型泊松方程，椭圆型2定解条件的提法（初值条件；边值条件）3二阶线性偏微分方程的分类方法齐次方程；非齐次方程；齐次、非齐次定解条件；的取值，习题11判别类型要求：会写出简单物理问题的数学模型——偏微分方程定解问题（与问题求解相结合）1.分离变量法的解题步骤：（1）设解的分离式，代入方程分离出常微分方程；（2）归纳固有值问题，并求解；（3）用叠加原理写出解的级数形式的解；（4）由初值条件确定系数。注：有些矩形域和圆域上的Laplace方程的边值问题也可用分离变量法。第二章分离变量法习题：1

2、,2,3,4,6,93.具有非齐次边界条件的问题基本原则：做函数变换，将边界条件齐次化方法：用固有函数展开法习题：10题；例题2.非齐次方程的求解注：有些问题在边界条件齐次化的同时，方程也能齐次化。习题：11题；例题要求掌握：会写简单的物理问题的数学模型－偏微分方程定解问题；会用分离变量法：（1）写出问题的固有值问题并会求解（2）求解定解问题；会用固有函数法求解非齐次问题；会将边界条件齐次化；对特殊问题，会将方程与边界条件同时齐次化。1.弦振动方程的达朗贝尔公式解法习题：3(1)(2)习题：1，2，4及例题第三章行波法2.的通解及其应用3.齐次化原理4.

3、二、三维波动方程的泊松公式及应用，物理意义。二维、三维Laplace方程的基本解第四章格林函数法1拉普拉斯（Laplace）方程的基本解2Green公式3调和函数性质注意其推论性质1调和函数的积分表达式性质2调和函数满足性质3调和函数平均值定理性质4调和函数极值原理及其应用4Green函数及其应用Green函数静电源象法（镜象法）应用求法要求：了解球域上Green函数的建立方法，会建立半空间上Green函数的建立方法，给出对应定解问题解的积分表达式。例题三种特殊函数1函数形式（1）Bessel函数：（2）Legendre多项式：（3）Hermite多项式

4、：2三种特殊函数是三种常微分方程的解3三种特殊函数的递推公式4三种特殊函数的正交性结论：n阶Bessel函数系　　　　　　　在　　上带权　　正交，即在[-1,1]上正交，即结论：Hermite多项式　　　　　在　　　　　上关于权函数正交，即5函数按三种特殊函数展成级数形式习题：P129:3,4,5,6,7,8,9;P148:1,5,6;P156:1,2,4例题。