数理方程-期末复习

《数理方程-期末复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、⎧sinmmϕ⎫⎛=0,1,2,?l⎞mm1.将下列函数展开为球函数YP()()θϕ,c=osθ⎨⎬⎜⎟的ll⎩⎭cosmlϕ⎝=0,1,2,3,?⎠形式。(1)sinθ()sinθθϕ+cossin(2)sinsinθϕ(3)()6cosθ+1sincosθϕ⎧sinmmϕ⎫⎛=0,1,2,?l⎞mm2.将下列函数展开为球函数YP()()θϕ,c=osθ⎨⎬⎜⎟的ll⎩⎭cosmlϕ⎝=0,1,2,3,?⎠形式。(1)3sin2sin()θϕ−cos2sin2θϕ−+cos2cos2θϕsin2ϕ+cos2ϕ−1(2)s

2、incosθϕ(3)()13cos+θsincosθϕ3.如图所示，长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在弦的中间点以横向力F0把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。4.求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布2ub=−x(lx)lt=0225.在球坐标系下将三维波动方程uau−∇=0分离变量。其中，拉普拉斯算符tt在球坐标系下的形式为22211∂∂⎛⎞uu∂⎛∂⎞1∂u∇=ur⎜⎟+⎜sinθ⎟+22222rr∂∂⎝⎠rrsinθ∂θθθ⎝∂⎠rsin∂φur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=

3、()(rYθφ,;)Y()()()θ,.φθφ=ΘΦ求出Tt()，R()r，Y()θφ,，Θ(θ)，Φ(φ)分别满足的本征方程以及通解的形式。226.在柱坐标系下将三维输运方程uau−∇=0分离变量。其中，拉普拉斯算符t在柱坐标系下的形式为22211∂∂⎛⎞uu∂∂u∇=ur⎜⎟++222rr∂∂⎝⎠rr∂∂φzur()(,,θφ=Ttv)(r),vR()r=Φ()()()rZφz.求出Tt()，R()r，Φ()φ，Z()z分别满足的本征方程以及通解的形式。7.在半径为r的球的(1)内部，(2)外部求解定解问题02⎧∇=u

4、0,⎪⎨∂u2221=cosθϕϕcos−+cos.⎪∂r3⎩rr=08.均匀中空介质球壳，内半径为r，外半径为rr(>)，壳层内介电常数为ε，121壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷4πεq的电场中，球心跟0点电荷相距dr()>，求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静2电场中的电势。∞1l勒让德多项式的母函数为=∑hPl()cosθ,h<1212cos−+hhθl=029.半径为ρ而高为L的圆柱，下底保持温度u，上底温度分布为uρ，侧面温012度分布为uz，求解柱体内各点的稳恒温度。0210.圆

5、柱体半径为ρ而高为L，下底温度分布为uρ，上底温度保持为u，侧001面绝热，求柱体内的稳恒温度分布。