2012届总复习-走向清华北大--2命题

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1、第二讲命题及其关系､充分条件与必要条件回归课本1.命题(1)一般地,我们把用语言､符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题,其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.(2)“若p则q”是数学中常见的命题形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.(3)若原命题为“若p则q”,则它的逆命题为若q则p,它的否命题为若¬p则¬q,它的逆否命题为若¬q则¬p.(4)互为逆否的命题是等价的,它们同真同假,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数可能为0､2､4个.(5)否命题与命题的否定的区别:首先,只有“若p则q”形式的命题才有否命题,其形式为“若p则q.”其他形式的命题只有“否

2、定”,而没有否命题,其次,命题的否定与原命题一真一假,而“若p则q”形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反.2.充要条件(1)“若p则q”为真命题是指由p通过推理可以得出q,这时我们就说由p可以推出q,记作pq,并说p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若既有pq又由qp,则p是q的充分必要条件,记作pq.(3)从集合的角度认识充分条件､必要条件.设A､B为两个集合,A={x

3、p(x)},B={x

4、q(x)}则①若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;②若BA,则p是q的必要条件;③若A=B,则p是q的充要条件.3.反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论,(2

5、)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定假设错误,肯定结论成立.反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.考点陪练答案:B2.“m>2”是“方程x2-mx+m+3=0的两根都大于1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件(2)m>2时,取m=3,此时方程为x2-3x+6=0无实根,即m>2不能推出x1>1且x2>1.由(1)(2)知m>2是方程的两根都大于1的必要不充分条件.答案:

6、B3.(2010·陕西)对于数列{an},“an+1>

7、an

8、(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为an+1>

9、an

10、an+1>an{an}为递增数列,但{an}为递增数列an+1>an推不出an+1>

11、an

12、,故“an+1>

13、an

14、(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件,选B.答案:B4.(2010·山东)设{an}是等比数列,则“a1

15、析:由题可知,若a10时,解得q>1,此时数列{an}是递增数列,当a1<0时,解得0

16、真假,首先分清命题的条件和结论,直接判断.如果不易直接判断,可根据互为逆否命题的等价关系来判断.【典例1】(反例法)有下列四个命题:(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;(2)“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;(3)“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题;(4)“若ab是无理数,则a､b是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[解](1)逆命题为“若x､y互为相反数,则x+y=0”是真命题.(2)∵原命题为假,∴其逆否命题为假.(3)否命题为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,假如x=4>-3,但x2+x-6=14>0,故为假.(4)逆命

17、题“若a､b是无理数,则ab也是无理数”,假如则ab=2是有理数.故为假.[答案]B[反思感悟]判断一个命题为假命题,只需举出一个反例,无需证明.类型二四种命题及其关系解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假.所以:①当判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假;②原命题､逆命题､否命题､逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是0个､2个､4个.【典例2】分别写出下列命题的逆命题､否命题