巧妙的题目设计 精彩的试题解答

《巧妙的题目设计 精彩的试题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、巧妙的题目设计精彩的试题解答——2013年海南省中考数学试题第23题赏析孙孝武（海南省教育研究培训院）邓之淮（海南省文昌中学）冼词学（海南省国兴中学）海南省2013年中考数学第23题是以正方形为基本图形，综合三角形、四边形与图形变换等主干知识的一道“压轴题”，是一道极具“灵气”的题目，注重对数学思想方法与学生探究能力的考查。一、试题赏析海南省2013年初中毕业生学业考试数学科试题第23题为：23．（满分13分）如图9（1），点P是正方形ABCD的边CD上的一点（点P与点C、D不重合），点E在BC的延长线上，且CE＝CP，连接BP、DE．（1）求证：△BC

2、P≌△DCE；（2）如图9（2），直线EP交AD于点F，连接BF、FC，点G是FC与BP的交点．①当CD＝2PC时，求证：BP⊥CF；②当CD＝n·PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1、△DPE的面积为S2，求证：S1＝(n+1)S2．图9（1）ADBCEP图9（2）ADBCEPGF此题设置两个小题，第（1）小题是基础题型，考查学生最基本的几何推理能力；第（2）小题设置两个问，第①小题属中等难度水平的题目：“当点P在边CD是中点时，判定线段BP与CF的位置关系”，考查学生对核心数学知识与数学基本技能的理解与掌握；第②小题属较难度水平的题目：

3、“当点P在边CD的任意位置时，探索△BPF与△DPE的面积之间的关系”，题目渗透了“数学建模、化归与数形结合”等重要数学思想，不乏基础知识与基本方法却又有较高的思维含量，考查学生对核心数学知识与思想方法的深层次掌握和理解，考查学生思考、转化与解决问题的能力。题目中的三个问题的难度呈“易、中、难”分布，能满足不同数学能力的学生解答，一些解法很精彩，现收集与整理第（2）小题的解法与各位分享：二、解法赏析第（2）小题设置两个问，第①小题属于中等难度水平的题型，考查学生对核心数学知识与数学思想方法的掌握与理解，第②小题属于较难水平的题型，解答需要有较强的数学思维

4、能力，更深层次地考查学生的空间想象能力与对数学思想方法的理解与掌握，讲究一定的方法与技巧．（一）、当CD＝2PC时，求证：BP⊥CF．证明“BP⊥CF”的方法有多种，有些学生的思路比较简捷，但无论采用哪种方法，只需牢牢抓住“CE＝CP”与“CD＝2PC”这两个条件不难发现BP与CF的位置关系，下面是常见的几种证明方法：证法一：如图9（2）A当CD=2PC时，DP=CP，∵正方形ABCD中，AD∥BC∴∠FDP=∠ECP=90°又∠DPF=∠CPE∴△DPF≌△CPE(ASA)，∴PF=PE∴四边形CEDF是平行四边形∴FC∥DE，∠1=∠2由（1）知△B

5、CP≌△DCE(SAS)∴∠3=∠1，∴∠2=∠3∵∠3+∠BPC=90°，∴∠BPC+∠2=90°∴∠PGC=90°，∴BP⊥CF证法二：如图9（2）A当CD=2PC时，DP=CP，∵正方形ABCD中，AD∥BC∴∠FDP=∠ECP=90°，又∠DPF=∠CPE∴△DPF≌△CPE(ASA)，∴PF=PE∴四边形CEDF是平行四边形∴FC∥DE，∴∠FCB=∠DEC又由（1）知△BCP≌△DCE∴∠3=∠1，∴△BCG∽△DCE∴∠BGC=∠DCE=90°，∴BP⊥CFG123图9(2)AADBCEFP简析:证法一与证法二是通过论证四边形CEDF是平行

6、四边形,从而得到FC∥DE，最后论证∠PGC=90°，从而得到BP与CF互相垂直．证法三：如图9（2）A∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCP=∠CDF=90°，BC=CD，AD∥BE∴∠PCE=90°又CE=CP∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=∠DFP=45°∴DF=DP，又CD=2PC，∴DF=DP=CP△BCP≌△CDF（SAS），∴∠3=∠2∵∠3+∠BPC=90°，∴∠BPC+∠2=90°∴∠PGC=90°，∴BP⊥CF简析:证法三是通过证明△BCP与△CDF全等，得到∠3=∠2，从而推导出∠BPC+∠2=90°，因而BP与CF互相垂直．证法四：

7、如图9（2）B延长BP交DE于点H由（1）知△BCP≌△DCE，∴∠3=∠1又∠BEH=∠DEC，∴∠BHE=∠DCE=90°∵正方形ABCD中，AD∥BC∴△DPF∽△CPE，∴∵CD=2PC，∴DP=CP，∴PF=PE∴四边形CEDF是平行四边形，∴CF∥DE，G123图9(2)BADBCEFPH∴∠BGC=∠BHE=90°，∴BP⊥CF证法五：如图9（2）B∵四边形ABCD是正方形∠BCP=∠DCE=90°，BC=DC，又CE=CP∴△DCE可看成是由△BCP绕点C顺时针旋转90°形成，∴BP⊥DE∵正方形ABCD中，AD∥BC∴△DPF∽△CPE

8、，∴∵CD=2PC，∴DP=CP，∴PF=PE∴四边形CEDF是平行四边形∴CF