2019版高考数学大复习平面向量第27讲平面向量基本定理及坐标运算学案理

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1、第27讲　平面向量的概念与线性运算考试要求　1.向量的实际背景(A级要求)；2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示(B级要求)；3.向量加法、减法及数乘运算(B级要求)；4.两个向量共线的含义(B级要求)；5.向量线性运算的性质及其几何意义(A级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)零向量与任意向量平行.(　　)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之

2、成立.(　　)(5)在△ABC中，D是BC中点，则＝(＋).(　　)解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√2.(必修4P62习题5改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是________.解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单

3、位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.答案　①3.(2018·赣榆高级中学月考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋＝λ，则λ＝________.解析　因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以M为AC，BD的中点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝λ＝4，所以λ＝4.答案　44.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________.解析　∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋

4、.故λ＋μ＝＋＝.答案　5.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.答案　知识梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量

5、方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

6、λa

7、＝

8、λ

9、

10、a

11、；(2)当λ＞0时，λa的方向与

12、a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.考点一　平面向量的概念【例1】给出下列四个命题：①若

13、a

14、＝

15、b

16、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

17、a

18、＝

19、b

20、且a∥b.其中正确命题的序号是________.解析　①不正确

21、.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确.∵＝，∴

22、

23、＝

24、

25、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

26、

27、＝

28、

29、，∴＝；③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确.当a∥b且方向相反时，即使

30、a

31、＝

32、b

33、，也不能得到a＝b，故

34、a

35、＝

36、b

37、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.答案　②③规律方法　向

38、量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.【训练1】给出下列说法：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的