高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结

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1、《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量:既有大小又有方向的量。记作:或。2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:或。3.单位向量:长度为1的向量。若是单位向量,则。4.零向量:长度为0的向量。记作:。【方向是任意的,且与任意向量平行】5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。。8.三角形法则:;;(指向被减数)9.平行四边形法则:以为邻边的平行四边形的两条对角线分别为,。10.共线定

2、理:。当时,同向;当时,反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模:若,则,,13.数量积与夹角公式:;14.平行与垂直:;题型1.基本概念判断正误:(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是。(5)若,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7)若与共线,与共线,则与共线。(8)若,则。(9)若,则。(10)若与不共线,则与都

3、不是零向量。(11)若,则。(12)若,则。题型2.向量的加减运算1.设表示“向东走8km”,表示“向北走6km”,则。2.化简。3.已知,,则的最大值和最小值分别为、。4.已知的和向量,且,则,。5.已知点C在线段AB上,且,则,。题型3.向量的数乘运算1.计算:(1)(2)2.已知,则。题型4.作图法球向量的和已知向量,如下图,请做出向量和。题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中,是的中点,请用向量表示。2.在平行四边形中,已知,求。题型6.向量的坐标运算1.已知,,则点的坐标是。2.已知,,则点的坐标是。

4、3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为。4.已知,,求,,。5.已知,向量与相等,求的值。6.已知,,,则。7.已知是坐标原点,,且,求的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:A.B.C.D.2.已知,能与构成基底的是()A.B.C.D.题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点,点在第二象限,,,求的坐标。2.已知是原点,点在第一象限,,,求的坐标。题型9.求数量积1.已知,且与的夹角为,求(1),(2),(3),(4)。2.已知,求(1),(2

5、),(3),(4)。题型10.求向量的夹角1.已知,,求与的夹角。2.已知,求与的夹角。3.已知,,,求。题型11.求向量的模1.已知,且与的夹角为,求(1),(2)。2.已知,求(1),(5),(6)。3.已知,,求。题型12.求单位向量【与平行的单位向量:】1.与平行的单位向量是。2.与平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直1.已知,,当为何值时,(1)?(2)?2.已知,,(1)为何值时,向量与垂直?(2)为何值时,向量与平行?3.已知是非零向量,,且,求证:。题型14.三点共线问题1.已知,,,求证:三点共

6、线。2.设,求证:三点共线。3.已知,则一定共线的三点是。4.已知,,若点在直线上,求的值。5.已知四个点的坐标,,,,是否存在常数,使成立?题型15.判断多边形的形状1.若,,且,则四边形的形状是。2.已知,,,,证明四边形是梯形。3.已知,,,求证:是直角三角形。4.在平面直角坐标系内,,求证:是等腰直角三角形。题型16.平面向量的综合应用1.已知,,当为何值时,向量与平行?2.已知,且,,求的坐标。3.已知同向,,则,求的坐标。3.已知,,,则。4.已知,,,请将用向量表示向量。5.已知,,(1)若与的夹角为钝角,

7、求的范围;(2)若与的夹角为锐角,求的范围。6.已知,,当为何值时,(1)与的夹角为钝角?(2)与的夹角为锐角?7.已知梯形的顶点坐标分别为,,,且,,求点的坐标。8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,,,求第四个顶点的坐标。9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成角,求水流速度与船的实际速度。10.已知三个顶点的坐标分别为,,,(1)若,求的值;(2)若,求的值。【备用】1.已知,求和向量的夹角。2.已知,,且,,求的夹角的余弦。1.已知,则65。4.已知两向量,求当垂直时的x

8、的值。5.已知两向量,的夹角为锐角,求的范围。变式:若,的夹角为钝角,求的取值范围。选择、填空题的特殊方法:1.特例法例:《全品》P27:4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立,所以取特殊情况,即M,N与B,C重合时,可以得到,。2.代入验证法例:已知向量,则(D)A.B.C.D.变式:已知,请用表示。解:设,

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