《根轨迹法a》PPT课件

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1、第四章根轨迹法1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－根轨迹法。当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增益、时间常数）连续由零变化到无穷大时，特征方程式的根连续变化而在平面上形成的运动轨迹，即为闭环系统特征根的根轨迹。根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本分析方法之一。第一节根轨迹图系统开环传递函数为对应的闭环传递函数为系统特征方程为系统特征根为根轨迹图可见，当时，为两相异的实根；当时，为两相等实根；当时，为一对共轭复根，实部为，虚部为，意味着这些复根都集中在根平面

2、上离虚轴的垂直线上。实际中，最常用的可变参数是系统的开环增益，以为可变参数而得到的根轨迹称为常规根轨迹。第二节绘制根轨迹的数学依据开环传递函数的两种表达式闭环特征方程的几种表达形式相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的表达形式，可根据实际需要选择合适的表达式。闭环传递函数有以下两种表示形式：（1）闭环特征方程的几种表达形式需要指出的是，上述六种表达方式其实质是一致的，都是根据特征方程而得到的。（2）（3）（4）（5）（6）绘制根轨迹的数学依据根据上式等号两边的幅值和相角应分别相等的条件，可得由于系统闭环特征方程为上式就是绘制根轨迹的相角条件和幅值条件，相角条件是绘制

3、根轨迹的依据－根平面上凡满足相角条件的点的全体就是根轨迹。或绘制根轨迹的数学依据因此，利用相角条件就可画出根轨迹，即绘制根轨迹无需考虑幅值条件。而幅值条件用于确定根轨迹上某一点所对应的值，即根轨迹上凡满足幅值条件的点就是相应值所对应的系统闭环极点，反之亦然。相角条件与幅值条件的不同在于相角条件与值无关。因此，将满足相角条件的值代入幅值条件，定能求得与之对应的值，即凡满足相角条件的点必定同时满足幅值条件。反之，满足幅值条件的点未必都能满足相角条件。绘制根轨迹的数学依据图示系统由幅值条件可得令，上式化为即可见，系统的等增益轨迹是一簇同心圆。对某个值，对应圆周上无穷多个值都

4、能满足上式，但只有同时满足相角条件的值才是特征根。绘制根轨迹的数学依据如图中点，由于相角，满足根轨迹的相角条件，表明该点是根轨迹上的一个点。至于该值所对应的值，根据幅值条件得。不难看出，图中实轴段上的值均满足相角条件，因此该部分线段是系统的根轨迹。综上所述，根轨迹就是平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因此绘制根轨迹的一般步骤是：先找出平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据需要，用幅值条件确定相关点对应的值。绘制根轨迹的数学依据用相角条件画出图示系统变化时的根轨迹，并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比时的值。上述系统

5、的相角条件和幅值条件为绘制根轨迹的数学依据在平面上画出开环极点系统特征方程有两个开环极点、。确定实轴上的根轨迹首先确定正实轴上是否有根轨迹。在正实轴上任取一点，则，不满足相角条件。因此，正实轴上没有根轨迹。在负实轴间任取一点，则满足相角条件，，是根轨迹的一部分。绘制根轨迹的数学依据确定平面上除实轴以外的其它根轨迹在平面上任取一点，令、。若位于根轨迹上，则满足相角条件，显然，只有位于坐标原点0与间线段的垂直平分线上的点，才能满足相角条件，因此该垂直平分线也是根轨迹的一部分。确定一对阻尼比的共轭复数闭环极点由于闭环极点位于的直线上，所以第三节绘制根轨迹的一般规则规则1根轨

6、迹的连续性当由0连续变化到∞时，系统的闭环特征根也一定是连续变化的，所以根轨迹也必然是连续的。由于闭环特征方程为实系数代数方程，相应的特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之。因此，根轨迹必然对称于实轴。规则2根轨迹的对称性这样，只需画出上半平面的根轨迹，下半平面的根轨迹可根据对称性原理作出。绘制根轨迹的一般规则规则3根轨迹的分支数及其起点和终点当变化时，根轨迹共有条分支，它们分别从个开环极点出发，其中条根轨迹分支的终点为个开环零点，条根轨迹分支的终点在无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点，则根轨迹的终点有个有限零点，个无限零点。证明设系统闭环特征方程为绘制

7、根轨迹的一般规则当时，特征方程根的位置就是根轨迹的起点，此时当变化时，特征方程中的任一根由起点连续地向其终点变化的轨迹，即为根轨迹的一条分支。由于，因而闭环特征方程式的最高阶次必等于开环传递函数的极点数，系统根轨迹共有条分支。表明根轨迹的起点就是开环传递函数的极点。绘制根轨迹的一般规则当时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点，由表明，开环传递函数的零点是条根轨迹分支的终点。得式的幅值条件为绘制根轨迹的一般规则当时，上式为可见，当时，也能满足上式，此时条根轨迹分支的终点在无穷远处。绘制根轨迹的一般规则规则4根轨迹在实轴上的分布在平面实轴的线段上存在根