§6.1.2不等式的性质(二)

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1、§6.1.2不等式的性质(二)教学目的：1理解同向不等式，异向不等式概念；2理解不等式的性质定理1—3及其证明；3理解证明不等式的逻辑推理方法．4通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯.教学重点：掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件教学难点：1.理解定理1、定理2的证明，即“a＞b,b＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则.2.定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论.2.(1)如果甲的年龄大于

2、乙的年龄，那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么?(2)如果甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么?一、复习引入：a>bab>0ab，c>d，是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，则bb，即a>bbbab>0(ab)<0ba<0bb，且b>c，则a>c.(传递性)证明：∵a>

3、b,b>c∴ab>0,bc>0根据两个正数的和仍是正数，得:(ab)+(bc)>0∴ac>0∴a>c根据定理l，定理2还可以表示为：cb，则a+c>b+c(加法单调性)即a>ba+c>b+c(加法单调性)证明：∵(a+c)(b+c)=ab>0∴a+c>b+c(1)定理3的逆命题也成立；(2)利用定理3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从—边移到另一边．点评：定理3：若a>b，则a+c>b+c(加法单调性)推论：若a>b，且c>d，则a

4、+c>b+d.(相加法则)即a>b且c>da+c>b+d(相加法则)证明:∵a>b,∴a+c>b+c,∵c>d∴b+c>b+d∴a+c>b+d（1）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论；点评：三、讲解范例：例1.已知a>b，cb-d．(相减法则)分析1：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的.证法1:

5、∵a＞b，∴a－b＞0，∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0∵c＜d∴d－c＞0故a－c＞b－d(两个正数的和仍为正数)三、讲解范例：例1.已知a>b，cb-d．(相减法则)分析2：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的.证法2:∵c＜d∴－c＞－d又∵a＞b∴a＋（－c）＞b＋（－d）∴a－c＞b－d定理1：如果a>b，那么bb．(对称性)即：a>b,bb定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>ca>c定理3：如果a>b，那么a

6、+c>b+c．即a>ba+c>b+c推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)即a>b，c>da+c>b+d．小结不等式的性质:判断下列命题是否正确，并说明理由。(1)a>bac>bc(2)a>b,c>da+c>b+d(3)a>bac2>bc2(4)(5)a>b>0(6)a>b,c>d(7)a2>b2

7、a

8、>

9、b

10、(8)(a>0,b>0)a2>b2练习:例2.已知x、y均为正数，设试比较M和N的大小.证明：例3.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围分析：利用与设法表示a、c,然后再代入的表达式中，从

11、而用与来表示,最后运用已知条件确定的取值范围例4.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围点评：应当注意，下面的解法是错误的：由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a≤3，1≤c≤7(3)所以，由f(3)=9a-c可得，-7≤f(3)≤27以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向