高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第23讲平面向量的概念及其线性运算优选学案

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1、第23讲　平面向量的概念及其线性运算考纲要求考情分析命题趋势1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.2017·全国卷Ⅱ，42017·浙江卷，152016·全国卷Ⅱ，132015·陕西卷，8平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点，主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运算.分值：5分1．向

2、量的有关概念名称定义备注向量既有__大小__又有__方向__的量；向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)平面向量是自由向量零向量长度为__零__的向量，其方向是任意的记作__0__单位向量长度等于__1个单位__的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量0与任一向量__平行__或共线共线向量__方向相同或相反__的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度__相等__且方向__相同__的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度__相等__且方向__相

3、反__的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的和的运算__三角形__法则__平行四边形__法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算

4、λa

5、＝

6、λ

7、

8、a

9、；当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__；当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa__；λ(a＋

10、b)＝λa＋λb__3．平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__b＝λa__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)单位向量只与模有关，与方向无关．(　√　)(2)零向量的模等于0，没有方向．(　×　)(3)若两个向量共线，则其方向必定相同．(　×　)(4)若

11、a

12、＝

13、b

14、，则a∥b.(　×　)(5)＋＝0.(　√　)解析　(1)正确．由定义知模为1的向量叫单位向量，与方向无关．(2)错误．零向量的方向是任意的．(3)错误．可能相同，也可能相反，若有零

15、向量，则两向量方向不定．(4)错误．两向量模长相等，但两向量方向不定．(5)正确.＋＝－＝0.2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　D　)A．共线但不同向　　B．不共线C．共线且同向　　D．不一定共线解析　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C项都不正确，D项正确．3．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　A　)A．－＋　　B．－－C．－　　D．＋解析　如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋.4．化简－＋－的结果为____.解析　－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.5．已知a

16、与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为__－__.解析　∵a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即∴一　平面向量的概念平面向量概念中的几点注意(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象平移混为一谈．(4)非零向量a的单位向量是.【例1】(1)给出下列命题：①若

17、a

18、＝

19、b

20、，则a＝b；②若A，B，C，D是

21、不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

22、a

23、＝

24、b

25、且a∥b.其中正确命题的序号是(　A　)A．②③　　B．①②　　C．③④　　D．①④(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(　C　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4解析　(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它

26、们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

27、

28、＝

29、

30、且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

31、

32、＝

33、

34、，因此＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使

35、a

36、＝

37、b

38、，也不能得到a＝b，故

39、a

40、＝

41、b

42、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题