高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第26讲数系的扩充与复数的引入优选学案

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1、第26讲　数系的扩充与复数的引入考纲要求考情分析命题趋势1.理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2017·全国卷Ⅰ，32017·全国卷Ⅱ，22017·全国卷Ⅲ，22017·山东卷，22017·北京卷，2复数的概念(如实部、虚部、纯虚数、共轭复数、复数的模)及复数的四则运算(特别是除法运算)是高考考查的主要内容，复数的几何意义常与解析几何知识交汇命题.分值：5分1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R

2、)的数叫做复数，其中a，b分别是它的__实部__和__虚部__.若__b＝0__，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若__a＝0且b≠0__，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__a＝c且b＝－d__(a，b，c，d∈R)．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．__x轴__叫做实轴，__y轴除去原点__叫做虚轴．实轴上的点都表示__实数__；除原点外，虚轴上的点都表示__纯虚数__；各象限内的点都表示__非

3、纯虚数__.复数集用C表示．(5)复数的模：向量的模r做复数z＝a＋bi的模，记作__

4、z

5、__或__

6、a＋bi

7、__，即

8、z

9、＝

10、a＋bi

11、＝____.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi__平面向量__(a，b∈R)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d

12、)i__；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__；④除法：＝＝____(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__.4．i乘方的周期性in＝其中k∈Z.5．共轭复数与模的关系z·z＝

13、z

14、2＝

15、

16、2.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若a∈C，则a2≥0.(　×　)(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．(　

17、×　)(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．(　×　)(4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　√　)解析　(1)错误．若a＝i，则a2＝－1<0，因而(1)错．(2)错误．若两个复数为虚数，或一个为实数，一个为虚数，则它们不能比较大小．(3)错误．当虚部也为0时，则此复数为实数0.(4)正确．由复数的几何意义可知该结论正确．2．已知a∈R，i为虚数单位，若(1－2i)(a＋i)为纯虚数，则a的值等于(　B　)A．－6　　B．－2　　C．2　　D．6解析　由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数得由此解得a＝

18、－2.3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　D　)A．a＝1，b＝1　　B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1　　D．a＝1，b＝－1解析　由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的条件得a＝1，b＝－1.4．若复数z满足＝2i，则z对应的点位于第__二__象限．解析　z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z对应的点为(－2,2)，在第二象限内．5．若复数z满足z＋i＝，则

19、z

20、＝____.解析　因为z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，则

21、z

22、＝.一　复数的有关概念(1)复数的分类及对应点的位置问题都

23、可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．【例1】(1)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　C　)A．i(1＋i)2　　B．i2(1－i)C．(1＋i)2　　D．i(1＋i)(2)(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是__5__.(3)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为____.解析　(1)i(1＋i)2＝i·2i

24、＝－2，不是纯虚数，排除A项；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B项；(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数．故选C．(2)(1＋2i