资源描述：
《7-4平面及其方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章第四节平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动目录上页下页返回结束一、平面的点法式方程zrn如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做M0该平面的法线向量．Moy法线向量的特征：x垂直于平面内的任一向量．r已知n={A,B,C},M(x,y,z),0000设平面上的任一点为M(x,y,z)rr必有MM⊥n⇒MM⋅n=000机动目录上页下页返回结束QMM={x−x,y−y,z−z}0000∴A(x−x)+B(y−y)+C(z−z)=0000——平面的点法式方程r其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,z0).平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不
2、满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．机动目录上页下页返回结束例1求过三点A,2(−)4,1、B(−,3,1−)2和C)3,2,0(的平面方程.解AB={−,4,3−}6AC={−,2,3−}1r取n=AB×AC={14,9,−1},所求平面方程为14(x−)2+(9y+)1−(z−)4=,0化简得14x+9y−z−15=.0机动目录上页下页返回结束说明:14(x−)2+(9y+)1−(z−)4=,0⇒{x−,2y+,1z−}4⋅{14,9,−}1=0⇒{x−,2y+,1z−}4⋅({−,4,3−}6×{−,3,2−1})=0所以，此平面的方程也可写成x−2y+1z−4−34
3、−6=0−23−1机动目录上页下页返回结束定义：若点P,Q,R都在一条直线上，则称它们是共线的，否则称它们是不共线的。设P=(x,y,z),i=3,2,1三点不共线，则iiiiP,P,P唯一决定一张平面，此平面方程为：123x−xy−yz−z111x−xy−yz−z=0212121x−xy−yz−z313131——平面的三点式方程。机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为zRP(a,)0,0,Q,0(b,)0,R,0,0(c)时,平面方程为oxyzQy++=1(a,b,c≠)0abcPx此式称为平面的截距式方程.证明：利用三点式x−ayz−ab0=0−a0c按第一行展开得(
4、x−a)bc−y(−a)c+zab=0即bcx+acy+abz=abc机动目录上页下页返回结束例2求过点)1,1,1(，且垂直于平面x−y+z=7和3x+2y−12z+5=0的平面方程.rr解n1=,1{−1,1},n2=,2,3{−12}rrr取法向量n=n×n={10,155,},12所求平面方程为10(x−)1+15(y−)1+(5z−)1=,0化简得2x+3y+z−6=.0机动目录上页下页返回结束二、平面的一般方程由平面的点法式方程A(x−x)+B(y−y)+C(z−z)=0000⇒Ax+By+Cz−(Ax+By+Cz)=0000=DAx+By+Cz+D=0——平面的一般方程r其中法
5、向量n={A,B,C},A,B,C不全为零.反之，若A,B,C不全为零,则方程Ax+By+Cz+D=,0r表示一个法向量为n={A,B,C}的一个平面。机动目录上页下页返回结束平面一般方程的几种特殊情况：)1(D=,0平面通过坐标原点；⎧D=,0平面通过x轴；)2(A=,0⎨⎩D≠,0平面平行于x轴；类似地可讨论B=,0C=0情形.)3(A=B=,0平面平行于xoy坐标面；类似地可讨论A=C=,0B=C=0情形.机动目录上页下页返回结束例3设平面过原点及点,6(−)2,3，且与平面4x−y+2z=8垂直，求此平面方程.r解1设平面的法向量为nr由平面过点原点及点,6(−)2,3知n⊥,6{−
6、2,3},r又因为n⊥,4{−2,1},所以可取rn=6{，−3，}2×4{，−1，}2={−4，−4，}6则所求平面方程为−(4x−)0−(4y−)0+(6z−)0=0化简得：2x+2y−3z=.0机动目录上页下页返回结束例3设平面过原点及点,6(−)2,3，且与平面4x−y+2z=8垂直，求此平面方程.解2设平面为Ax+By+Cz+D=,0由平面过原点知D=,0由平面过点,6(−)2,3知6A−3B+2C=0rQn⊥,4{−2,1},∴4A−B+2C=02⇒A=B=−C,所求平面方程为32x+2y−3z=.0机动目录上页下页返回结束例4.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解1:
7、设平面为Ax+By+Cz+D=,0因平面通过x轴,故A=D=0设所求平面方程为By+Cz=0代入已知点,4(−,3−)1得C=−3B化简得所求平面方程y−3z=0机动目录上页下页返回结束例4.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解2:由题意，所求平面的法向量可取为rn=1{，0，}0×4{，−3，−}1=,1,0{−}3则所求平面方程为y−3z=0解3:已知平面过三点)0,0,0(1(，0，)04(，
