2019届高考数学复习解析几何课堂达标47最值范围证明问题文新人教版

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1、课堂达标(四十七)最值、范围、证明问题[A基础巩固练]1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)在抛物线上，直线AB，CD均过点M(3,0)，且均不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.(1)求y1y2的值；(2)求证：

2、MP

3、＝

4、MQ

5、.[解]　(1)由题意得＝，则p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.设直线AB的方程为x＝my＋3，将x＝my＋3代入抛物线的方程得，y2－2my－6＝0，则由根与系数的关系得y1y2＝－6.(

6、2)证明：由题意可知，直线AC的斜率为＝＝，∴直线AC的方程为y＝(x－x1)＋y1，∵直线PQ过点M且垂直于x轴，∴点P的纵坐标yP＝(3－x1)＋y1＝＝＝＝.同理可得点Q的纵坐标yQ＝，∴yP＋yQ＝0，又PQ⊥x轴，∴

7、MP

8、＝

9、MQ

10、.2．(2018·成都七中一诊)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值．[解]　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过P作PN垂直x＝－1于N，由抛物线的定义可知

11、PF

12、＝

13、PN

14、，连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，当

15、＝最小时，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，联立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，＝＝cos∠NPA＝.3．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2

16、)，点D是双曲线C右支上的动点，求

17、DF1

18、＋

19、DG

20、的最小值．[解]　(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，半焦距c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因为M(2,1)为AB的中点，所以所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6，故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.(3)由已知，得

21、DF1

22、－

23、

24、DF2

25、＝2，即

26、DF1

27、＝

28、DF2

29、＋2，所以

30、DF1

31、＋

32、DG

33、＝

34、DF2

35、＋

36、DG

37、＋2≥

38、GF2

39、＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号，因为

40、GF2

41、＝＝，所以

42、DF2

43、＋

44、DG

45、＋2≥

46、GF2

47、＋2＝＋2，故

48、DF1

49、＋

50、DG

51、的最小值为＋2.4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．[解]　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>

52、0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，又a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.(2)联立整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴可得m2>3k2－1且k2≠，　①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．则x1＋x2＝，∴x0＝＝，∴y0＝kx0＋m＝.由题意，AB⊥MN，∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)．整理得3k2＝4m＋1，　②将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4.又3k2＝4m＋1>0(k≠0)，即m>－.∴m的取值范围是

53、∪(4，＋∞)．[B能力提升练]1．(2018·威海模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求△OAB的面积S的取值范围．[解]　(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，所以原点O到直线l的距离为＝1，即m2＝k2

54、＋1.由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，由≤λ≤，得≤k2≤1，即k的取值范围是∪.(3