单自由度系统在简谐激励下的受迫振动

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1、第二章单自由度系统在简谐激励下的受迫振动2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段受迫振动－激励形式－系统在外界激励下产生的振动。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次解:x1(t)特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1

2、振动微分方程2.1.1振动微分方程简谐激振力以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x2(t)-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有意义。Bysubstitutingtheparticularsolutiontobedeterminedintothediffere

3、ntialequationofmotionWearriveatUsingthetrigonometricrelationsEquatingthecoefficientsofandonbothsidesoftheresultingequation,weobtainSolutionoftheaboveequationgivestheamplitudeandphaseangleofthesteadystateresponseofthedampedmass-springsystemunderharmonicexcitation:稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系

4、统和激励的特性。2.1.1振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论幅频特性与相频特性1、＝0的附近区域(低频区或弹性控制区)，＝0，响应与激励同相；对于不同的值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，，，响应与激励反相；阻尼影响也不大。3、＝1的附近区域(共振区)，急剧增大并在＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝pn称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性

5、曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝/2,这也是共振的重要现象。2.1.2受迫振动的振幅B、相位差的讨论5品质因子与半功率带宽共振(仍按考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得品质因子与半功率带宽在＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为和，它们的差称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。例题.质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距

6、为e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。转子偏心引起的受迫振动根据达朗贝尔原理，有=h转子偏心引起的受迫振动电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。阻尼比z较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当→

7、0时，≌0，B→0；当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于。幅频特性曲线和相频特性曲线转子偏心引起的受迫振动简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较TheformofthisequationisidenticaltothatofEq.,wherezreplacesxandreplaces.thedifferentialequationofmotionisMakingthes