单自由度系统在一般激励下的受迫振动

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1、第6讲单自由度系统在一般激励下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration6.1周期激励作用下的受迫振动6.2任意激励作用下的受迫振动6.3响应谱周期振动展成傅氏级数一个周期T中的平均值n=1,2,3,……n=1,2,3,……基频6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration一个周期振动可视为频率顺次为基频及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期振动的谐波分析6.1周期

2、激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。周期振动的谐波分析6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振动。例已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。解∶矩形波一个周期内函数F(t)可表示为表示F(

3、t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。周期振动的谐波分析6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibrationn=1，2，3……于是，得F(t)的傅氏级数F(t)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。F(t)的幅值频谱如图所示。周期振动的谐波分析6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration非周期函数的连续频谱函数f(t)的傅氏积分公式f(t)的傅氏变换的傅氏逆变换又称非周期函数f(t)的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。连

4、续频谱f(t)称为非周期函数6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration例试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。可求得频谱函数f(t)的傅氏积分为解:f(t)可表示为非周期函数的连续频谱6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration其振幅频谱频谱图傅氏积分和变换，是研究瞬态振动与随机振动的重要工具。实际应用时，可使用计算机运算或应用各种快速傅氏分析仪器(FFT)。非周期函数的连续频谱6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration6

5、.1周期激励作用下的受迫振动先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线性系统的叠加原理，将每个响应分别叠加，即得到系统对周期激励的响应。设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频MechanicalandStructuralVibration由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration例弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系统的稳态响应。(其中)解：周期性矩形波的基频为

6、矩形波一个周期内函数将矩形波分解为固有频率6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。画出系统的响应频谱图奇数6.1周期激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration6.2任意激励作用下的受迫振动物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速

7、度设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1.用冲量描述瞬态作用MechanicalandStructuralVibration如果取为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果作用在的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块的响应为6.2任意激励作用下的受迫振动MechanicalandStructuralVibration同理，如果在t=0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对欠阻尼的情形，得其响应如果作用在的时刻，则物块的响应为6.2任意激励作用下的受迫