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1、高等数学总复习2009年6月7日机动目录上页下页返回结束高等数学复习简介向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；二元函数的极限;二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；方向导数，多元函数的条件极值问题；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数
2、的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。机动目录上页下页返回结束向量的方向余弦机动目录上页下页返回结束与三坐标轴的夹角,,为其方向角.机动目录上页下页返回结束方向角的余弦称为其方向余弦.向量的运算设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束2.向量关系:平面与直线（包括坐标轴）的位置关系主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；问题根源仍然是对向量关系的正确理解；面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:1、线面之间的相互关系机动目录上页下页返回结束直线2、线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:机动目录上页下
3、页返回结束平面:垂直：平行：夹角公式：3.面与线间的关系直线:机动目录上页下页返回结束实例分析例1.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线提示:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.机动目录上页下页返回结束例2.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程机动目录上页下页返回结束例3.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量机动目录
4、上页下页返回结束所求为平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程主要利用书中结论:即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;例1求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束例2.直线绕z轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示:在L上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程机动目录上页下页返回结束二元函数的极限方法:主要根据定义求极限、讨论极限；利用定义求导数；机动目录上页下页返回
5、结束例1.设求证：证：故总有要证机动目录上页下页返回结束例2证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导根据定义必要条件充分条件反例思考题提示:利用故f在(0,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.1.证明:机动目录上页下页返回结束而所以f在点(0,0)不可微!机动目录上页下页返回结束多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分隐函数的一阶求导方法：公式法;推导法;注意两者的区
6、别;隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;机动目录上页下页返回结束复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束思考题思考题解答例1.设其中f与F分别具解法1方程两边对x求导,得有一阶导数或偏导数,求机动目录上页下页返回结束解法2方程两边求微分,得化简消去即可得机动目录上页下页返回结束例2.设有二阶连续偏导数,且求解:机动目录上页下页返回结束有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案:(2001考研
7、）机动目录上页下页返回结束练习3.设例3.设解法1利用隐函数求导机动目录上页下页返回结束再对x求导解法2利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束曲面的切平面方程求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)机动目录上页下页返回结束设有光滑曲面在其上一定点的切平面的法向量是?曲面在点M的法向量法线方程切平面方程复习目录上页下页返回结束曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量用将
8、法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束例1.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:
