线性代数-第五章相似矩阵与二次型5.5二次型及其标准形

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1、第五章相似矩阵与二次型§5.5二次型及其标准形一、二次型的概念二、二次型的矩阵表示三、二次型的标准形四、二次型的秩五、小结思考题第五章相似矩阵与二次型二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中，当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一般方程是22ax2bxycyd(59)为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择适当的角度θ，做旋转变换xxcosysin,yxsinycos,第五章相似矩阵与二次型把方程(5-9)化成标准方程22axcyd(510)(5-10)式左边是一个二元二次齐次多

2、项式，它只含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成平方和的形式.第五章相似矩阵与二次型一、二次型的概念定义5.5.1含有n个变量xx,,,x的二次齐次多项式12n2fxx1,2,,xnax1112axx12122axx1n1n22ax2axxax(511)2222n2nnnn称为二次型.当af是复数时,;称为复二次型ij当af是实数时,.称为实二次型ij第五章相似矩阵与二次型222例如xxx3xx2

3、x4xx3x1121322332ixx5x(3ixx)2xx1222314都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型.设由yy,,,y到变量xx,,,x的线性变换为12nn12xcycycy,11111221nnxcycycy,22112222nn(512)xcycycy.nn11n22nnn第五章相似矩阵与二次型或写成为矩阵形式:XCYxy11xy其中X22,Y，C()cijmnxynn可见，线性变换把二次型变为二次型.第五章相似矩阵与二次型二

4、、二次型的矩阵表示取aa，则2axxaxxaxxi(j)jiijijijijijjiji于是fax2axxaxx11112121nn12axxaxaxx21212222nn22axxaxxaxn1n1n2n2nnnx(axaxax)11111221nnx(axaxax)22112222nnx(axaxax)nn11n22nnn第五章相似矩阵与二次型axaxax1111221nnaxaxax[,xx,,x]2112222nn12naxaxaxn11n22n

5、nnaaax11121n1aaax[,xx,,x]21222n212naaaxn12nnnn第五章相似矩阵与二次型a11a12a1nx1aaax记AX21222n,,2aaaxn12nnnn则二次型可记作fXAX,其中A称为二次型的矩阵.显然，A是对称矩阵.二次型与对称矩阵是一一对应.222例如，二次型fx34xxxx的矩阵为12233100A032021第五章相似矩阵与二次型我们知道，经过线性变换二次型仍为

6、二次型，下面讨论经可逆线性变换后二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设二次型fXAX，作可逆线性变换XCYfXAX(CYACY)()YCACY()YBY其中BCACB(CAC)CAC()B所以B是对称矩阵，因而它是变换后二次型的矩阵.第五章相似矩阵与二次型定义5.2.2设AB,是两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵C，使得BCAC，则称AB和是合同的.由此可知，可逆线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同.由于两个矩阵合同则一定等价，因而他们有相同的秩.第五章相似矩阵与二次型三、二次型的标准形只含有平方项的二次型222f

7、yyy1122nn称为二次型的标准型.12说明：1;.标准二次型的矩阵是对角矩阵n2.要使二次型f经可逆变换xCy变成标准形,222就是要使yCACyyyy1122nn也就是要使CAC成为对角矩阵.第五章相似矩阵与二次型由于对任意的实对称矩阵AP,总有正交矩阵,1使PAP,.即PAP因此任意一个实二次型都可以化为标准形.1.用正交变换化二次型为标准形定义5.3.3如果线性变换X=CY的系数