线性代数-第五章相似矩阵与二次型5.3相似矩阵

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1、第五章相似矩阵与二次型§5.3相似矩阵一、方阵的相似二、方阵可对角化的条件三、小结第五章相似矩阵与二次型一、相似矩阵与相似变换的概念定义5.3.1设AB,都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使1PAPB,则称B是A的相似矩阵,.或说矩阵AB与相似对A进1行运算PAP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把AB变成的相似变换矩阵.第五章相似矩阵与二次型相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系(1)自反性A与A本身相似；(2)对称性A与B相似，则B与A相似；(3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似.1112.P(

2、AAP)(PAPPAP)().1212mm3.若A与B相似,则A与B相似m为正整数.1114.P(kAkAP)kPAPkPAP11221122其中kk,.是任意常数12第五章相似矩阵与二次型定理5.3.1若n阶矩阵AB与相似,则AB与的特征多项式相同,.从而AB与的特征值亦相同证明1AB与相似可逆阵P,使得PAPB11BEPAPPEP1PAEP1PAEPAE.第五章相似矩阵与二次型推论1若n阶方阵与对角阵12n

3、相似,则,,,即是An的个特征值.12n推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B).一般地，方阵A与对角阵相似，我们就称方阵A可对角化.第五章相似矩阵与二次型二、方阵可对角化的条件定理5.3.2nA阶方阵可对角化的充要条件是An有个线性无关的特征向量.1证明假设存在可逆阵P,,使PAP为对角阵把P用其列向量表示为Ppp,,,p.12n1由PAP,得APP,1即App,,,ppp,,,p212nn12np,

4、p,,p.1122nn第五章相似矩阵与二次型App,,,pApAp,,,Ap12nn12p,p,,p1122nn于是有App(i1,2,,).niii可见是A的特征值,而P的列向量p就是iiA的对应于特征值的特征向量.i又由于P可逆,所以pp,,,p线性无关.12n反之,由于An恰好有个线性无关的特征向量,1这n个特征向量即可构成可逆矩阵P,.使PAP第五章相似矩阵与二次型说明如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定

5、能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化．推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．注意：矩阵A有n个不互不相等的特征值只是A可对角化的充分条件，而非必要条件.第五章相似矩阵与二次型例1判断下列方阵能否对角化11021131(1)(2)430(3)02013102413解(1)由§2例1知，A有两个线性无关的特征向量(或A有两个不同特征值)，因而A可以对角化，且存在可逆阵P20111PAP其中P

6、0411第五章相似矩阵与二次型(2)由§2例2知，A只有两个线性无关的特征向量，因而A不能对角化.(3)由§2例3和定理2知，A有三个线性无关的特征向量，因而A可以对角化，且存在可逆阵P,使得11011PAP2其中P0102114第五章相似矩阵与二次型利用对角矩阵计算矩阵多项式若APBP1,k个AkPBP1PBP1PBP11PBPk1.PBPA的多项式nn1(A)a0Aa1Aan1AanEnn111aPBPaPB

7、P0111aPBPaPEPn1nn11PaB()aBaBaEP01nn11P()BP.第五章相似矩阵与二次型1特别地,,若可逆矩阵P使PAP为对角矩阵kk11则APP,()AP()P.对于对角矩阵,有k1kk2,利用上述结论可以kn很方便地计()算矩阵A的1()多项式(A).()2,()n第五章相似矩阵与二次型31100例2若AA，求13解：由例1知，存

8、在可逆阵P,使20111PAP其中P0411上式改写为11202211APP其中P041122第五章相似矩阵与二次型100201001APP0411112010022200110211229919999