线性代数-第五章相似矩阵与二次型5.1向量的内积与正交向量组

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1、第五章相似矩阵与二次型Ch5相似矩阵与二次型§5.1向量的内积与正交向量组§5.2方阵的特征值与特征向量§5.3相似矩阵§5.4实对称矩阵的相似对角形§5.5二次型及其标准型§5.6正定二次型第五章相似矩阵与二次型§5.1向量的内积及正交向量组一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换五、小结思考题第五章相似矩阵与二次型一、内积的定义及性质定义5.1.1设有n维向量ab11ab22,,abnn令,ab11ab22

2、abnn称,为向量与的内积.第五章相似矩阵与二次型说明:1.n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．2.内积是向量的一种运算,如果,都是列向量,:内积可用矩阵记号表示为,.第五章相似矩阵与二次型内积的运算性质其中,,为n维向量,为实数:(1),,;(2),,;(3),,,;(4)[,]0,且当0时有[,]0.2schwarz不等式[,][,][

3、,]第五章相似矩阵与二次型二、向量的长度及性质222定义5.1.2非负数,aaa称为向量12n的长度(或范数)，记作.向量的长度具有下述性质：1.非负性当0时,0;当0时,0;2.齐次性;3.三角不等式.第五章相似矩阵与二次型当1时,称为单位向量.1如果0,有长度的概念得就是一个单位向量.1用非零数去乘以向量得到一个与同方向的单位向量，通常称为把向量单位化.,当0,0,时arccos称为n维向量与的夹角.第五章相似矩阵与

4、二次型三、正交向量组的概念及求法当[,]0时，称向量与正交.定义5.1.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组．若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称该向量组为标准正交向量组.定理5.1.1正交向量组是线性无关向量组.证明设有,,,是正交向量组，若有12mkkk01122mm用a与等式两边做内积,得i第五章相似矩阵与二次型k[,]0i1,2,,miii由0,有[,]0,从而得iiik0i1,2,,m.i故,,,线性无关.12m若,,,是rV维向量空间的一

5、个基，若,,12r12,两两正交，则称,,,是向量空间V的一rr12个正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基(或正交规范基).第五章相似矩阵与二次型将正交基,,,中每个单位化后得到12ri的r个单位向量111e，e，，e1122rr12r则ee,，,e即为V的一个标准正交基.12r201例如：0,1,01231023为R的一组正交基.将它们单位化得第五章相似矩阵与二次型20111

6、e0,e1,e0155231023所以eee,,为R的一个标准正交基.123第五章相似矩阵与二次型通过前面的讨论我们知道,一组两两正交的非零向量是线性无关的,但一组线性无关的向量却不一定两两正交.那么,在向量空间V中,如何由r个线性无关的向量来找r个两两正交的向量呢?我们通过下面的方法来进行.若,,,为线性无关组,12r（1）正交化取11,12,221,11第五章相似矩阵与二次型[,][,]13233312[,][

7、,]1122[,][,][,]1r2rr1rbrr12r1[,][,][,]1122rr11那么,,两两正交,且,,与,等价.1r1r1r（2）单位化，12r取e,e,,e,12r12r那么ee,,,e为V的一个标准正交向量组.12r第五章相似矩阵与二次型上述由线性无关向量组α1,α2,…,αr构造出正交向量组β1,β2,…,βr的过程，称为施密特正交化过程114例1把向量组2,3,11

8、23110化为这标准正交向量组.解取;1111121,45321;22,16311111第五章相似矩