向量的内积与二次型

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1、第五章二次型一、向量的内积1.向量内积的概念2.向量组的标准正交化3.正交矩阵二、二次型及其标准形下页本章要求1．掌握二次型的矩阵表示；本章重点用正交变换化二次型为标准形.第五章二次型2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法；3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法.下页一、向量内积的概念定义1设a=(a1,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是Rn中的两个向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b).即内积的定义第一节向量的内积例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,

2、0,-1,3)T,则a和b的内积为(a,b)=(-1)2+10+0(-1)+23=4.下页内积的性质设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=0时，有(a,a)=0.内积的定义显然,下页向量的长度定义2对Rn中的向量a=(a1,a2,,an)T，其长度(或模)为例如，在R2中，向量a=(-3,4)T的长度为向量长度的性质（了解）(1)

3、a

4、0，当

5、且仅当a=0时，有

6、a

7、=0；(2)

8、ka

9、=

10、k

11、

12、a

13、(k为实数)；(3)三角不等式:

14、a+b

15、≤

16、a

17、＋

18、b

19、；(4)对任意向量a，b，有

20、(a,b)

21、

22、a

23、

24、b

25、.下页长度为1的向量称为单位向量.向量的单位化（标准化）下页例2．Rn中的n维单位向量组e1，e2，，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(ij).例1．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.正交向量组定义3如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.

26、下页正交向量组定义4如果Rn中的m个非零向量组a1，a2，，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.定义3如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.下页证明：设a1，a2，，am为正交向量组，且有数k1，k2，，km，使k1a1+k2a2++kmam=0上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，aiT(

27、k1a1+k2a2++kmam)=0(1im)，可得kiaiTai=0，但ai0，有aiTai>0。所以ki=0(1im)，则a1，a2，，am线性无关.定理1Rn中的正交向量组是线性无关的向量组.下页定理2（施密特正交化方法）对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，am，令b1=a1，……向量组b1，b2，，bm是正交向量组，并且与向量组a1，a2，，am可以相互线性表示.二、向量组的标准正交化下页例3．设线性无关向量组为a1=(1,1,1,1)T，a2=(3,

28、3,-1,-1)T，a3=(-2,0,6,8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化.解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令b1=a1=(1,1,1,1)T，=(3,3,-1,-1)T=(2,2,-2,-2)T，=(-1,1,-1,1)T.(1,1,1,1)T此时b1，b2，b3，为正交组.下页(2)再将正交化后的向量组标准化，即令此时1，2，3，即为所求标准正交组.说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.下页三、正交矩阵例如，单位矩阵E为正交矩阵.定义5如果n阶实矩阵A满足

29、ATA=E或AAT＝E，则称A为正交矩阵.下页三、正交矩阵定理3正交矩阵具有如下性质：1．A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT；2.正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；3.两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；4.正交矩阵是满秩的且

30、A

31、=1或-1；5.A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.（证明见下页）定义6如果n阶实矩阵A满足ATA=E或AAT＝E，则称A为正交矩阵.下页性质5设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准正交向量组.证明：设A=(a1，a2，，

32、an)，其中a1，a2，，an为A的列向量组，则AT的行向量组为a1T，a2T，，anT，ATA第i行第j列元素为aiTaj，由此可知ATA=E等价于即A为正交矩阵的充分必要条件是其列向量组是标准正交向量组.类似可证，A为正交矩阵的充分必要条件是其行向量组是标准正交向量组.下页一、二次型及其标准形定义１含有n个变量的二次齐次多项式叫做n元二次型，当二次型的系数aij(i,j=1,2,…,n)都是实数时，称为实二次型（本教材只讨论