学案2平面向量基本定理及坐标表

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1、学案2平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算，处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、三角等知识.1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b，作OA=a,OB=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角(如图).非零(2)范围向量夹角θ的范围是,a与b同向时

2、,夹角θ=;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b不平行面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示λ1e1+λ2e2基底互相垂直①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向

3、量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫做a在x轴上的坐标,叫做a在y轴上的坐标.②设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(x,y)(x,y)(x,y)向量OA的坐标(x,y)xy(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量共线的

4、坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线a=.x1y2-x2y1=0终点始点λb如右图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC.AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值.考点1平面向量基本定理的应用【解析】设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,B

5、P=μBN=2μe1+μe2,故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,λ+2μ=2λ=3λ+μ=3,μ=.故AP=AM,即AP:PM=4:1.由基本定理，得解得【评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线.注意方程思想的应用.（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.应根据条件灵活应用，熟练掌握.【解析】【分析】利用向量的坐标运算解题.考点2平面向量的坐标运算设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是()A.

6、a

7、=

8、b

9、B.a·b=C.a-b与b垂直D

10、.a∥b【解析】A项,∵

11、a

12、=1,∴

13、a

14、≠

15、b

16、,A项错;B项,∵a·b=1×+0×=,B项错;C项,(a-b)·b=a·b-

17、b

18、2=0,故C项正确.故应选C.∴【评析】利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)3a+b-3c=____________;(2)向量MN的坐标为___________.【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6

19、,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵CM=OM-OC=3c,∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b,∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴MN=(9,-18).平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.【分析】(1)由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.考点3平行(共线)向量的坐标运

20、算【解析】∵(a+kc)∥(2b-a),又∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.【评析】向量平行的坐标公式实质是把向