三角恒等变形及应用

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1、三角恒等变形及应用一．要点精讲1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；；。（2）辅助角公式，。4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，

2、求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。二．典例解析题型1：两角和与差的三角函数例1．已知，求cos。例2．已知求。题型2：二倍角公式例3．化简

3、下列各式：（1），（2）。例4．若。题型3：辅助角公式例5．已知正实数a,b满足。例6．（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?（2000全国文，17）已知函数y＝sinx＋cosx，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?题型4：三角函数式化简例7．（06北京理，15）已知函数.（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象

4、限的角，且，求的值。题型5：三角函数求值例8．（06重庆理，17）设函数f(x)=cos2x+sinxcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。例9．（06上海理，17）求函数＝2＋的值域和最小正周期。题型6：三角函数综合问题例10．已知向量（I）若求（II）求的最大值。例11．（2001天津理，22）设0<θ<，曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。（1）求θ的取值范围；（2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

5、三．思维总结从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否。1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2．证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边

6、化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。3．解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。4．加强三角函数应用意识的训练1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是

7、以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法。5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。针对高考