专题09 函数（一次函数等）模型及其应用

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1、第09讲：函数模型及其应用【考纲要求】1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。【基础知识】1、一次函数的一般形式为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数是常数函数。2、二次函数的一般形式是，当时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为，函数在单调递减，在单调递增。当时，函数有最小值。当时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为，函数在单调递增，在单调递减。当时，函数有最大值。3、幂函数的一般形式为

2、，其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同。所有幂函数都在有定义，并且图像都过点（1，1）；幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数。四．解决实际问题的解题过程9（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型五．解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行

3、建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等。 解：（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（x∈N）。9因为原有沙漠面积为95万公顷，则

4、到2010年底沙漠面积大约为95+0.5×15=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。（1）设从乙地调运台至A地，求总运费关于的函数关系式。（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用。函数的模型二二次函数模型解题步骤先建立二次函数的模型，再解答。例2某租赁公司拥有汽车辆．当每辆车的月租金为元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加元时，未租出的车将会增加

5、一辆．租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元．（1）当每辆车的月租金定为元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了辆车．（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：，整理得：．所以，当时，最大，其最大值为．即当每辆车的月租金定为元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为元．无）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。[来源:学§科§网Z§X§X§K]9（1）求年产量为多少吨时，

6、生产每吨产品平均成本最低，并求最低成本。（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？函数的模型三幂函数模型解题步骤先建立幂函数模型，再解答。例3．有一片树林现有木材储蓄量为7100cm3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率；（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？【点评】（1）增长率（降低率）的问题一般是指数或幂函数模型，如果已知时间求增长率（降低率），多是幂函数模型。（2）“翻两番”指现在是原来的4倍，“翻番”指的是现在是原来的倍。【变式演练3】（1

7、）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率．（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月[来源:学科网]平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元．【高考精选传真】2012年高考没有此类考题。【反馈训练】1、一个高为H，水量为V的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个洞，满缸水从洞中流出，如果水深为h时