专题13 简单几何体表面积和体积的求法

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1、第13讲:简单几何体的表面积和体积的求法【考纲要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。【基础知识】一、扇形的面积（其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数）二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来。表中S表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长。三、旋转体的面积和体积公式旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得。表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，表示

2、球的半径。四、求几何体的面积和体积的方法方法一：对于规则的几何体一般用公式法。方法二：对于非规则的几何体一般用割补法。[来源:Z+xx+k.Com]方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法。16【方法讲评】方法一公式法使用情景几何体是规则的几何体解题步骤先求出几何体表面积和体积公式中的基本量，再代入几何体的表面积和体积公式。例1如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PA

3、C；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．[来源:Z#xx#k.Com]（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；例2一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．16解：(1)直观图如图所示：(2)

4、法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1.在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝7＋(m2)．∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，∴该几何体的表面积为(7＋)m2

5、，体积为m3.法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．∴几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.【变式演练1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B16三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．例3　如图

6、1，已知三棱锥中，，，试求三棱锥的体积.　　　　解：如图2所示，把三棱锥补成一个长方体，易知三棱锥的各边分别是长方体的面对角线.　　不妨令，则由已知有　　　　从而知16.　　故所求三棱锥的体积为160.　　例4　如图3，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的体积为（　　）.　　（A）　　（B）　　（C）　（D）　　　解：过A作AG⊥EF，连结DG，由对称性，易知DG⊥EF；同理，过B作BH⊥EF，连结CH，也由对称性，易知CH⊥EF，从而有EF⊥面ADG，EF⊥面B

7、CH.　　从而该多面体的体积等于直三棱柱ADGBCH与三棱锥EADG及三棱锥的体积之和.　　由已知，，.16[来源:Zxxk.Com]例5　在四棱锥中，底面为梯形，为的中点，设的体积为V，那么三棱锥的体积为（　　）.　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）　　解：设点到面的距离为，点到面的距离为.　　如图4，∵M是EA的中点，∴，　　∴，　　而.　　∴.　　∵到面EMC的距离即为到面EAC的距离.　　又∵，.故选（D）.【高考精选传真】161.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是

8、边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（）2.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12πB.45πC.57πD.81π3.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为