《矩阵运算和行列式》PPT课件

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1、第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算一.矩阵与向量1.mn矩阵元素:aij(i=1,…,m,j=1,…,n)§2.2§2.3§2.4§2.5a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵.例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij

2、表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010例3.直线的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A1B1C1A2B2C2系数矩阵第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算3.向量n维行向量:1n矩阵[a1,a2,…,an]n维列向量:n1矩阵a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算4.两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称它们是同型矩阵.5.若两个同型矩阵A=[aij]mn与B=[bij]mn满足:对于任意的1

3、im,1jn,aij=bij都成立,则称这两个矩阵相等,记为A=B.二.矩阵的线性运算1.加法两个同型矩阵A=[aij]mn与B=[bij]mn的和C定义为:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算注:①若矩阵A=(aij)mn的元素都是零,则称之为零矩阵,记为Omn.在不引起混淆的情况下,简记为O.②设矩阵A=(aij)mn,记A=(aij)mn,称之为A的负矩阵.③设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为A+(B).记为AB.即AB=A+(B).第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算2.数乘设矩阵

4、A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为(kaij)mn,记为kA或Ak.注:矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算.即kA=Ak=ka11ka12…ka1nka21ka22…ka2n…………kam1kam2…kamn第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算3.性质定理2.1设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算三.矩阵与

5、矩阵相乘例4.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616B=200180190100120100150160140180150150第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算例5.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市直达j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010若bij表示从i市经另外一个城市到j市航线的条数,则由右图可得矩阵B=(bij)=21100111100002111234ij其中bij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算1

6、.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.a11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32=a11a12a13a21a22a23b11b12b21b22b31b32如第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算2.矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有

7、意义.(2)若A是一个mn矩阵,与B是一个nm矩阵,则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方阵,BA是一个n阶方阵.当mn时,AB与BA谈不上相等不相等.即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相.例如:第二章矩阵运算和行列式§2.1矩阵及其运算112224121001112224121001=0000336112224=11221212=000011221212=3333第二章矩阵运算和行列式§2