互为反函数的两个函数图像之间的关系

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1、互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数与对数函数.我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。指数函数，若将之转化为用来表示即：，将其中作为自变量，作为中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数叫做指数函数的反函数，习惯上我们把函数，记作，即底数同为2的指数函数与对数函数互为反函数。根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数与对数函数互为反函数。通常我们将原函数记作，反函数记作。因为原函数与反函数本质是将与互换，所以我们就可

2、以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题1在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题2取图象上的几个点，如关于直线的对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题3如果点在函数的图象上，那么关于直线的对称点在函数的图象上吗？为什么？问题4由上述探究过程可以得到什

3、么结论？问题5上述结论对于指数函数及其反函数也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数图象上的点关于的对称点一定是在有图象上，并且函数图象与反函数的图象关于对称.例1求下列函数的反函数（1）（2）解：（1）由解出又写成：函数的值域为所求的反函数为.注意：如果不注明反函数定义域，得出是错误的.（2）由，改写成即为所求.说明：一般地，求分式函数的反函数时，直接解出，再改写成即可.因为使所求出的解析式有意义的的范围，已知函数的值域.例2已知函数的图象过点(1，2)，它的反函数图象

4、也过此点，求函数的解析式.解法一：由得∴当时，∴函数的反函数是又∵点(1，2)既在函数上，也在函数上∴有解得：∴函数＝解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线的对点为(2，1)，可以得到函数的图象还过点(2，1)∴得到解得：∴函数＝巩固练习：1．函数的反函数的定义域是（）A、B、C、D、2．设(),则的值等于（）A、B、C、D、3．设，函数的反函数和的反函数的图象关于（）[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]轴对称轴对称轴对称原点对称4．点在（）A.B.C.D.5．已

5、知函数，则的图象只可能是（）6．设，则．7．若与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则．8．给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数．试证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1．A，2．A，3．B，4．D，5．C，6．．7．．8．证明：先求所给函数的反函数:由得y(ax－1)=x－1，即(ay－1)x=y－1．即ax－a=ax－1，由此得a=1，与已知矛盾，所以ay－1≠0．因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数的图象关于直线

6、y=x成轴对称图形.