例析分类讨论思想在圆中的应用

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1、例析分类讨论思想在圆中的应用由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．一、点与圆的位置关系不唯一性例1已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=50°，求∠ACB的度数．分析解题时若对点C位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C在优弧与劣弧两种情况分类讨论．解析如图1，连结OA、O

2、B，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠APB=50°。∴在四边形PAOB中，∠AOB=360°一∠PAO一∠APB一∠PBO=130°．①若点C在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=65°；②若点C在劣弧AB上，则∠ACB=×(360°-130°)=115°．∴∠ACB的度数为65°或115°．变式已知点P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，点C是⊙O上的任意一点(不与A，B重合)．若∠APB=n°，求∠ACB的度数．二、弦与弦的位置关系不唯一性例2在半径为1的⊙O中，弦AB=，AC=，求

3、∠BAC的度数．分析此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15°，要么求得75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB与CD在圆心O的两侧与同侧两种情况讨论．解析如图2，分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD=BD=，AE=BE：，∴cos∠DAO==，cos∠AEO==，∴∠DAO=45°，∠AEO=30°．当AB与CD在圆心O的两侧时，∠BAC=∠BAO+∠CAO=75°；当AB与CD在圆心O的同侧时，∠BAC=∠BAO-∠CAO=15°，∴∠BAC的度数为

4、15°或75°．变式如图3，已知AB是⊙O的直径，AB=2，弦AC=，在图中画出弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．三、弦与它所对圆周角的不唯一性例3圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．分析多数学生只是求出30。，而未能求出150°，原因是学生对点与圆的位置关系、弦所对的圆周角理解不透．一条弦(非直径)所对的弧有优弧和劣弧，一条弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况，需要区分优弧和劣弧所对的圆周角进行计算．解析连结OA、OB，∵OA=OB=AB，∴△AOB为正三角形，∴∠ADB=60°．当点P在优弧AB上时，∠P=∠AOB

5、=30°；当点Q在优弧AB上时，∠Q=180°一∠P=150°．∴弦AB所对的圆周角为30°或150°．变式1已知点O为△ABC的外心，若∠BOC=100°，求∠BAC的度数．变式2在半径为4的⊙O中，弦AB=4，求弦AB所对的圆周角的度数．变式3一条弦AB分圆成1：4两部分，求弦AB所对的圆周角的度数．四、直线与圆的位置关系不唯一性例4直线上一点P到圆心O的距离是5cm，⊙O的半径也是5cm，求直线与⊙的位置关系．分析多数学生误以为圆心O到直线的距离为OP，即把直线上一点P当作垂足，得出直线与⊙O的位置关系是相切，出现漏解．解析(1)当O

6、P⊥时，则圆心O到直线的距离为OP．∵OP=5，R=5，∴OP=R，∴点P到直线的距离等于⊙O的半径，则直线与⊙O相切；(2)当OP不垂直直线时，圆心O到直线的距离小于OP，则直线与⊙O相交．∴直线与⊙O的位置关系是相切或相交变式直线上一点P到圆心O的距离是，⊙O的半径是，并且=，求直线与⊙O的位置关系．五、圆与圆的位置关系不唯一性例5以点O为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，与这两个圆相切，求的半径．分析由于两圆为同心圆，可能与小圆外切、与大圆内切，的直径等于两圆的半径之差；也可能与小圆、大圆都内切，的直径等于两圆的半径之和(如图5)．

7、解析当与小圆外切、与大圆内切时，的直径为∴；当与小圆、大圆都内切时，的直径为，∴．∴的半径是2或7．变式已知两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径是2，求另一圆的半径．六、在圆锥侧面展开图计算中的应用例6如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，Rt△ABC的一边旋转一周得到一个几何体，求出这个几何体的全面积。分析题中只说明Rt△ABC的一边旋转一周，而未说明具体是哪一边旋转，所以必须分情况进行讨论．解析∵∠ACB=90°，AC=20，BC=l5，∴AB=．∴，∴25CD=20×15，∴CD=l2．若绕AC旋转一周得

8、到的几何体，则它的全面积为；若绕BC旋转一周得到的几何体，则它的全面积为=900；若绕AB旋转一周得到的几何体，则它的全面积为．∴绕Rt△ABC的一边旋转一周得到一个几何体的全面