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1、第一章函数函数是数学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主要研究对象．本章我们将在中学数学的基础上，进一步阐明函数的一般定义，函数的简单性质以及与函数概念有关的一些基本知识．§1.1集的初步概念不论在数学或是在日常生活中，我们经常会遇到集这个概念．所谓集或集合就是指一些特定事物的全体，其中各个事物称为这集的元素．我们常用大写字母A，B，C…表示集，用小写字母，，…表示集中的元素．如果是集A的元素则称属于A，记作A,反之就称不属于A，记作A．可以用列举集中的元素来表示集，例如含元素,,的集合可表示为{,,}．也可以用描述集中
2、元素的特征性质来表示集．例如{0,1,2,3}可以表示为{︱是整数，03}．数学中常见的一些集及其记号如下：全体自然数组成的集{0,1,2,3…}称为自然数集，记作N；全体整数组成的集{0,1,2,3…}称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集{︱Z，N,且≠0}称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集称为实数集，记作R.如果集A的元素只有有限个，则称A为有限集；不含任何元素的集称为空集，记作；一个非空集，如果不是有限集，就称为无限集．如果集A中的元素都是集B中的元素，则称A是B的子集，记作BA或AB，读作B包含A或A包含于B．
3、如果集A与集B中的元素相同，即AB且BA，则称A与B相等，记作A=B.本课程是在实数范围内研究函数，经常用到实数集R的两类特殊子集——区间与邻域．1.区间设，R，且<我们把R的两个子集{∣<<}和{∣}分别称为以，为端点的开区间和闭区间，并分别记作（，）和[,]，即={∣<<}，={∣}这里，(,)，但,[,].从几何上看，开区间(,)表示数轴上以，为端点的线段上点的全体，而闭区间[,]则表示数轴上以,为端点且包括,两端点的线段上点的全体．（图1—1）（,）[,]图1—1在图1—1中，区间的端点不包括在内时，把端点画成空点，
4、包括再内时，把端点画成实点．类似定义和理解左开右闭区间={∣<}和左闭右开区间={∣<}上述四种区间统称为有限区间，此外还有五种无限区间：，，，，R．这里和只是一个记号，分别读作负无穷大和正无穷大．上述各种区间统称为区间，且常用字母来表示某个给定的区间．1.邻域设，且．我们把以为端点的开区间特别称为，记作．分别称为这邻域的中心和半径．由于当且仅当，亦即，因此有．如果再把这邻域中的中心去掉，就称它为，记作，即．这里邻域的半径虽然没有规定其大小，但在使用中一般总是取为很小的正数．并且大多数情形下并不一定要指明的大小，这时我们往往
5、把的邻域和的去心邻域分别简化为和．§1.2函数概念1.常量与变量自然界的现象无一不在变化之中，我们在考察某个自然现象，社会经济现象或生产过程时，常常会遇到一些不同的量，如长度、面积、体积、时间、速度、温度等．我们遇到的量一般可以分为两种，一种是在过程进行中一直保持不变，这种量称为常量．另一种却在过程中不断变化着，这种量称为变量．例如，一个物体作匀速直线运动，则速度是常量，而时间与位移的大小都是变量．又如，一块金属圆板，由于热胀冷缩，在受热的过程中它的半径与面积在不断变大，冷却时又不断变小．因此，这圆板的半径与面积都是变量．但
6、在整个过程中，面积与半径的平方之比，即圆周率始终不变，是一个常量．通常用字母等表示常量，用字母等表示变量．2.函数的定义在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中，我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的，它们之间往往存在着相互依赖关系．例1自由落体问题一个自由落体，从开始下落时算起经过的时间设为(秒)，在这段时间中落体的路程设为(米)．由于只考虑重力对落体的作用，而忽略空气阻力等其它外力的影响，故从物理学知道与之间有如下的依赖关系，(2.1)其中为重力加速度(在地面附近它近似于常数，通常取米¤秒)．如果落体从开始到着地所需的
7、时间为，则变量的变化范围(或称变域)为．当在变域内任取一值时，由(2.1)可求出的对应值．例如(秒)时，(米)；(秒)时，(米)．例2某化工公司统计去年农用化肥月生产量如下表所示月份月份123456789101112月产量(万吨)5.15.25.66.25.95.55.85.06.15.44.24.1从上表可以看出过去一年该公司月产量(万吨)与月份之间有着确定的对应关系．当月份在1至12之间每取一整数值时，从表中便得出月产量的唯一确定的对应值．例3图1—2是气温自动记录仪描出的某一天的温度变化曲线，它给出了时间与气温之间的依
8、赖关系．字母3025201510524681012141618 20 22 24图1—2时间(小时)的变域是，当在这范围内任取一值时，从图2—1中的曲线可找出气温的对应值．例如时，，为一天中的最高温度．以上的例子所描述的问题虽各不相同，但却有共同的特征：它们都表达了两个变量之间的相互依赖关
