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1、2015年高考数列创新题赏析中南大学第一附属中学（410083）刘文生（qq：1341467906）2015年全国高考数学试题中数列创新题精彩纷呈，数列问题的创新成为高考命题的一道亮丽的风景。数列内容基本而且重要，它是普通高中数学模块5中的一个学习内容。通过学习，学生应了解数列的概念和几种简单的表示方法，并认识到数列是一种特殊函数；学生应理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，并体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系；学生要能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有
2、关知识解决相应的问题。数列内容是每年高考必考的一个重要内容。基本题主要考察等差数列、等比数列的概念、通项公式与前n项和的公式及它们的一些简单性质。但高考试题中更多的数列问题是创新题。新颖的数列模型、新颖的设问方式、新颖的问题情境层出不穷。数列问题的创新让人赞不绝口。例1（2015，湖南（文））设数列{}的前n项和为，已知，，且=-+3，。（1）证明：；（2）求.审题要点：①已知条件简洁，就是一个关于数列的项与前n项和的一个递推关系，可以利用，（）或转化变形。②求证目标是数列{}的奇数项形成的子数列{}和偶数项形成的子数列{}都是等比
3、数列，并在此基础上对n分奇偶，利用分组求和方法求得及。解题过程（略）评析：①本题考查了数列的递推公式、前n项和与通项的关系、等比数列、分组求和等相关知识，是数列知识内部综合题，难度适中。②试题简洁，学生容易入手，优秀学生也容易走出来，整个求解过程无需费多少周折，能较好地考察学生的运算和推理能力。③本题以等比数列：1,3,9···和等比数列2,6,9···为背景，它们的项交错排列形成数列，这样的数列及其性质往往是学生少见的，是新颖别致的，对考生是公平的，有利于学生展现数学思考能力。试题具有良好的选拔功能。④类似问题有：2015年浙江（
4、文）17：已知数列{}和{}满足，，，.（1）求，；（2）设数列{}的前n项和为，求。2015年天津（理)18:已知数列{}满足（q为实数，且），，，,且，，为等差数列（1）求q的值和{}的通项公式；（2）设，求数列前n项和。2015年山东（理）18：设数列的前项和为.已知.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和.2015年全国新课标卷Ⅰ第17题：为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设,求数列的前项和。例2（2015，广东（理））数列{}满足：。(1)求的值；(2)求数列{}的前n项和；(3)令，，（）。证明：
5、数列{}的前n项和和满足。审题要点：①已知条件是一个比较熟悉的恒成立等式，取n=1,2,3，可求得，，；也可以由导出（），两式相减，即可求得一般项，又，所以，。②第（3）问定义数列{}的通项，形式新颖，需仔细观察，，，，，···，之间的关系，并且领悟到{}的前n项和③对一切，恒成立的不等式的证明，可用数学归纳法或综合推理的方法。解题过程（略）评析：①本题考查了数列的递推公式、通项公式、等比数列前n项和、新定义数列的前n项和的求解以及不等式的证明，前2问难度适中，第（3）问难度大。②试题以等比数列{}：为背景，把它的一个性质作为已知条
6、件让学生运算并推理出通项公式及前n项，这种过程是基础性的。第（3）问是一种创新设置，新定义的（）形式独特，这个新数列{}应该是考生从未见识过的，有超凡脱俗之感。新情境新问题，将有效地考查学生的数学思维能力。例3（2015，北京（理））已知数列{}满足，，且，记集合M={};(1)若，写出集合M的所有元素；(2)若集合M中存在一个元素是3的倍数，证明：M中的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值。审题要点:①对取定的，根据递推关系，将得到一个对应的数列{}。如时，得数列{}：6,12,24,12,24，···；又如，得
7、数列{}：1,2,4,8,16,32,28,20,4,8,16,32,28,20，···。这些数列都有这样的特征：后面的项是前面的某些项的重复。②数列{}的特征决定了集合M={}都是有限集，但到底有几个元素，我们要进一步探究数列{}的项的特征，如是2的倍数，是4的倍数，再如，若是3的倍数，则所有的都是3的倍数，等等。解题过程（略）评析：①本题考察了数列的递推关系、集合的性质、推理与证明。由于有36个不同的取值，对每一个，都将对应一个不同的数列，因此考生面对的是一群数列。这个群对高考考生——仅有20分钟左右的时间作答，非常大，可例举，
8、不宜穷举。考生应重点探究数列{}的特征，这就考察了学生的数学思维能力。②我们常见的数列问题，往往以等差数列或等比数列为背景，问题常常在适当运算与合理转换中得到解决。本题不同寻常。背景是36个不同的数列，探讨的问题是这群数列的某些特征，
