初中几何问题证明方法新探

《初中几何问题证明方法新探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、初中几何问题证明方法新探——图形变换贵州省遵义县新舟镇中学张显勇邮编：563127联系电话：（0852）7341207初中学生进入八年级阶段，感觉几何越来越难学，特别是几何问题的证明更难，他们经常挂在嘴边的话就是“几何几何，叉叉角角，老师难教，学生难学”。其实要学好几何也并非难事，只要我们能够牢记课本上的定义、定理、性质、公式，然后再辅之以“会用图”，我相信同学们就会逐渐对几何问题的证明产生浓厚的兴趣，进而克服“几何难学”的心理障碍。关于课本上“定义、定理、性质、公式”等的牢记和熟练，笔者就不在这里拉杂了，本文仅从“会用图”这一方面作初步的探讨。所谓“会用图”，就是指我们在进行几何问题的

2、解答、证明时，要会利用已知的图形（没有告诉图形的，要会根据题目的意思和给出的条件，自己画出图形），结合题目给出的条件，找出问题的“题眼”，然后进行分析、论证、解答。在解答过程中，一般的图形大家都基本认识，都知道怎样解答，然而，有些图形则需要进行一种特殊的几何处理——图形变换。图形变换大致可以分为三类：平移变换、对称变换和旋转变换。一、平移变换所谓平移变换就是把一个图形上的各点，沿着同一方向移动相等的距离。其主要性质如下：（1）平移前后对应线段平行且相等；（2）平移中各点移动的距离相等；（3）平移前后的对应角相等。例1、在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，AC⊥BD，垂足为O，且它的

3、面积为a2（a>0），求这个梯形的高h。（1-1）解：如图1-1，过B作BE∥AC交DC的延长线于点F，作BH⊥DC于H，则BH=h，四边形ACEB为平行四边形。∴CE=AB，BE=AC，∠DBE=∠DOC=90º，∴△DAB≌△BCE，∴S△DBE=S梯形ABCD=a²，在等腰Rt△DBE（易证）中∵DE=2h∴S△DBE=×2h×h=a²，即h²=a²,又∵h>0，a>0,∴h=a。（即梯形的高h的长为a）在本例中，解题的方法主要就是利用平移变换，AC平移到BE，把AC⊥BD平移到BE⊥BD，进一步转化为∠DBE=90º，从而把已知条件集中到△DBE中，这样解答起来就比较方便了。一般

4、地说，平移变换是处理梯形问题的常见方法之一。二、对称变换对称变换又分为中心对称变换和轴对称变换两种，总的来说，都具有一个共同的性质：变换前后的对应边、对应角相等。例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD+BC=CD，M是AB的中点。求证：DM、CM分别是∠ADC和∠DCB的角平分线。证明：延长DM交CB的延长线于点E（如图2-1），可证：△MAD≌△MBE，∴EB=AD，EM=MD，∠ADM=∠BEM，又∵AD+BC=CD，∴CE=CD，∴∠CDM=∠BEM=∠ADM，∴DM是∠ADC的角平分线；同理可证：CM是∠DCB的角平分线。（如图2-2）本题主要利用的是中心对称变换，作△

5、MAD（图2-1）和△MBC（图2-2）关于点M的对称图形△MBE和△MAF后，把已知条件集中在△CDE和△CDF中，从而利用等腰三角形等边对等角的性质进行代换即可。例3、已知：如图3-1，AM是△ABC的中线，分别以线段AB和AC为边向△ABC外作正方形ABEF、ACGH，连结FH。求证：FH=2AM。证明：延长AM到D，使MD=AM，连结BD，易证△DBM≌△ACM；∴BD=AC=AH，∠DBM=∠ACM，∴BD∥AC，在△AHF和△BDA中：AF=AB，AH=BD，∠FAH=360º－∠FAB－∠HCA－∠BAC=180º—∠BAC=∠ABD，∴△AHF≌△BDA（SAS），∴FH

6、=AD=2AM。本题主要通过作△AMC关于点M的对称图形△DMB，从而把求证FH=2AM转化为证明△FAH≌△ABD，这样，通过中心对称变换问题就可以迎刃而解。例4、已知：如图4-1，△ABC中，AB=AC，D是∠BAC的外角平分线上一点。求证：AB+ACBE，故：AB+AC

7、线为对称轴作对称变换，可以使已知条件聚集起来，便于解题。三、旋转变换所谓旋转变换，就是将平面图形F绕这个平面内一定点O在这个平面内旋转（顺时针或逆时针）一个定角a得到新图形F′。定点O叫旋转中心，定角a叫旋转角。其性质如下：（1）旋转前后的图形全等，（2）旋转前后的图形，其对应边（线段）相等、对应角相等，（3）旋转前后对应线段上的对应点顺序相同，（4）定点与旋转前后图形上对应点的连线构成的夹角等于旋转角（或旋转角的补角）。例5、已知