第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试答案

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1、-第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）解：qq1R（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得①式中，是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度（规定小圆柱在最低点时）与之间的关系为②由②式得，与的关系为③考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得--④式中，是小圆柱绕其自身轴的

2、转动惯量⑤由①②③④⑤式及小角近似⑥得⑦由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为⑧（2）用表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，和分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置）。对于小圆柱，由转动定理得⑨--对于圆筒，同理有⑩由⑨⑩式得⑪设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有⑫由⑫式得⑬设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为，由质心运动定理得⑭由⑫式得⑮由⑪⑬⑭⑮式及小角近似，得⑯--由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的

3、微振动是简谐振动，其振动频率为⑰评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。二、解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故①彗星绕太阳运动的轨道方程为：②彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒③式中--④当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为，由③式得⑤由⑤式和题给条件得⑥由③式得或⑦设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为，对⑦式两边积分，并利用⑥式得⑧对⑧式应用题给积分公式得--⑨由对称性可知，彗星

4、两次穿越地球轨道所用的时间间隔为⑩将题给数据代入⑩式得⑪（2）彗星在运动过程中机械能守恒⑫式中是彗星离太阳的距离为时的运行速度的大小。由⑫式有⑬当彗星经过C、D处时⑭由⑬⑭式得，彗星经过C、D两点处的速度的大小为--⑮由⑮式和题给数据得⑯评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩⑪式各2分；第（2）问12分，⑫式4分，⑬⑭⑮⑯式各2分。三、解：（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为。由牛顿第二定律有①由①式得由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间和移动的距离分

5、别为--，②重物B在卡车A的车厢底板上做匀减速直线运动，设B相对于地面的加速度大小为。由牛顿第二定律有③由③式得从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间和重物移动的距离分别为，④由于，由②④二式比较可知，，即卡车先停，重物后停。若，重物B与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是⑤（2）由⑤式知，当满足条件时，重物B与车厢前壁必定发生碰撞。设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为，此时有几何条件--⑥这里又可分为两种情况：（重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和（重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。（i），即卡车A在时停下，重物B继续运动，在时与车厢前

6、壁发生碰撞。卡车停下的时间和向前滑动的距离是②给出的和，同时重物相对于地面向前滑动的距离是⑦重物相对于车厢向前滑动的距离是如果，即当满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。从制动到重物B与车厢前壁碰撞前，重物B克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B相对地面的速度为--，由动能定理有⑧由⑧式得设碰撞后瞬间重物B与卡车A的速度均为，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒⑨由⑨式得碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为⑩碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间⑪再移动了一段路程⑫才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。--重物撞上车厢前壁的时间是⑬所以

7、，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为⑭卡车移动的总路程则为⑮（ii），即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞由⑨式的推导可知，条件可写成由匀减速运动学公式，⑥式成为解得碰撞发生的时间在碰撞前的瞬间，卡车A的速度和重物B的速度分别为，⑯--由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B和卡车A的共同速度为⑰由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B对车厢前壁的冲量为⑱卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由与⑰式可得⑲卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和⑳[另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力都是内力，水平外力只有地面作用于卡

8、车的摩擦力。在此力作用下系统质心做加速