基于异方差阈值法的金融风险度量模型研究

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1、-7-基于异方差阈值法的金融风险度量模型研究颜立军罗付岩唐邵玲（湖南师范大学数学与计算机科学学院概率统计系湖南，长沙，410081）摘要：考虑到金融回报序列的条件异方差性和极值事件对金融风险的影响，本文综合极值理论和异方差的思想，利用异方差阈值法对金融时序建模，并与传统的方法进行比较分析。实证研究表明，基于异方差阈值法的风险度量模型更加适合厚尾分布的金融时序，并且预测出来的VaR和ES比其他估计更加精确。关键词：极值理论；GARCH模型；VaR；ES。1．引言面对纷繁多变的金融市场,风险管理者的一个重要任务就是建立一个考虑到那些极少发生但又产生很大损失事件的风险管理模型。由于反应这些事

2、件的观测值通常都是非常稀少而又远离正常观察值的极值,即观察值位于分布的尾部,所以人们常用基于尾部分布特征的极值理论建模,一般用阈值法去拟合分布尾部以有效刻画金融数据的厚尾性,但是，单单这样处理，只能得到静态的风险度量，没有考虑当前的预期和波动性，即没有考虑回报的动态性。而研究表明,金融回报数据不仅有肥尾,而且资产收益序列常服从一个有随机波动结构的平稳时序模型，通常假定为条件正态的经济模型，如广义自回归条件异方差模型（GARCH模型），但此模型的弱点是条件正态的假设不能更精确地刻画各种真实的数据。因此，本文将回报的肥尾性与随机波动性（条件异方差性）结合一起考虑，综合极值理论和异方差的思想

3、，利用异方差阈值法对数据建模，求解单项资产的VaR和ES。我们先考虑不同分布下GARCH（1，1）模型，过滤股票的收益率，估计出相应的参数；然后用第一步过滤后得到的残差，使用极值理论中的POT模型，进一步捕捉第一步中没有估计到的尾部信息，希望能更精确地动态反映金融数据的回报特性。2．异方差阈值法求解单项资产的VaR和ES的过程2.1不同分布下GARCH（1，1）模型我们考虑金融资产收益时间序列，设t-1期的信息集合记为Ft-1，给定的条件下，我们假定分解为如下的形式：=，其中E(.)为条件期望，为随机干扰项，且，随机项通常假定具有以下的形式：具有时变性的特点。考虑到金融时序尖峰厚尾及波

4、动的聚集性，因此本文假定随机误差项中的分别服从student's-t分布和广义误差分布Generalizeerrordistribution（GED），建立fattailed-garch模型。设前t-1期的信息集合Ft-1给定的条件下，随机误差项=的分布即/Ft-1的分布可以通过如下的公式计算：设误差项的对数似然函数为[1]-7-。根据此式可以计算各种分布下的对数似然函数,得到不同分布下GARCH（1，1）的一般模型为：此式中不同的分布对应不同分布的对数似然函数，其中正态分布的对数似然函数为：；student's-t分布的对数似然函数为:，其中：为自由度，T为样本数。广义误差分布Gen

5、eralizeerrordistribution（GED）的对数似然函数为:其中：，（）为Gamma函数。在GED中，参数控制着分布的形式，不同的参数导致不同的分布。如果其参数=2，即为正态分布；如果<2,则得到厚尾分布，且有比正态分布更尖的峰，与金融时序的特性相吻合，因而是一种重要的分布；>2时，尾部比正态分布薄。然后利用极大似然估计就可以得到模型中参数的估计值，从而建立模型。由于理论上扰动项是无法直接观察到的，所以实际研究中我们用残差项估计它。即利用估计的不同分布下GARCH（1，1）模型的参数后就可以得到Rt的均值序列和标准差序列，于是就可以求得修正后残差序列。2.2利用极值理论

6、的POT模型处理残差序列POT(peakoverthreshold)模型(即超过阈值法)是极值理论中最有用的模型之一，它对样本数据中超过某一充分大阈值的数据进行建模，即只考虑尾部的近似表达，而不是对整个分布进行建模。极值理论对分布尾部的估计方法主要有两类：半参数方法和完全参数方法。本文用全参数法，即对残差序列，确定阈值u，对修正后残差序列中超过阈值的数据分布用广义帕累托分布函数近似[2]。2.2．1广义帕累托分布（GPD）这里，>0，当0时，xo,。其中，为重要的形态参数，是分布的尺度参数。若>0,是重新参数化的普通帕累托分布，其形态参数为=，此时，帕累托分布为厚尾分布，所以这种情形与

7、下方-7-风险测量是相关的。下面主要研究它与VaR、ES估计的关系。2.2．2超额损失分布拟合、GPD分布的参数估计与VaR、ES的估计令y=x-u,则超过某一阈值的条件分布函数(y)定义为其中：X为一随机变量，u是给定的一阈值，x-u为超过阈值的损失，为F分布的右端点即=，相应超额数的分布函数为：，由GPD分布取代[3]，用估计，这里n为总的观察值，为超过阈值的观察值，所以我们有：，简化此式得到：若给定概率q>F(u),则反解上式就能得到q分