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1、第24卷第6期黑龙江大学自然科学学报Vol24No62007年12月JOURNALOFNATURALSCIENCEOFHEILONGJIANGUNIVERSITYDecember,2007无网格法在裂纹研究中的应用112刘聪,夏茂辉,姜皇普(1.燕山大学理学院,秦皇岛066000;2燕山大学信息科学与工程学院,秦皇岛066000)摘要:裂纹是实际工程应用中常见的一种破坏形式,对其进行数值研究是很有益处的。提出将无网格法应用于裂纹研究中,给出无网格Galerkin方法应用的过程及其积分方案。在裂纹研究中,与有限元相比,无网格法避免了网格再生带来的数值计算困难
2、,并在需要得到精确结果的区域可以很容易添加结点,从而可以更容易地控制计算精度。关键词:无网格Galerkin法;裂纹;弹性力学;数值积分中图分类号:O34文献标识码:A文章编号:1001-7011(2007)06-0815-030引言裂纹是构件的一种常见破坏方式,在研究这个问题时,泛函、变分原理、加权残量法等知识是所需的基础理论,同时数值计算方法是所需的必要手段。无网格法起源于20世纪70年代Lucy提出的smoothedparticlehydrodynamics方法,是近10多年计算力学领域最活跃的研究分支之一。由于无网格法回避了有限元计算中无网格畸变带来的困难,并且容易局部地嵌入
3、与主体数学物理模型相关的其它计算模型,使得它在裂纹研究中显示出了越来越大的潜力。Be[1]lytschko将提出的无网格Galerkin法应用到裂纹研究中,取得了满意的结果,从而提高了计算效率。1弹性力学无网格Galerkin方法及其数值实施11弹性力学基本方程弹性力学基本方程用爱因斯坦求和约定可表示为-平衡方程:ij,j+fi=0在内(1)1几何方程:ij=(ui,j+uj,i)在内(2)2物理方程:ij=Dijklkl在内(3)-力边界条件:ijnj-ti=0在!t上(4)-位移边界条件:ui=ui在!u上(5)-j式中ij为应力张量,fi为域中给定的
4、体力,,j表示对空间坐标x的导数,ij为应变张量,ui为位移向量,--Dijkl为本构张量,!t为给定面力边界,ti为给定面力,nj为边界!t的外法线方向余弦,!u为给定位移边界,ui[2]为给定的位移。12无网格Galerkin方法及其积分方案在无网格Galerkin方法中,将权函数取为真实位移的变分∀ui及其边界值的负值,由加权残量法可得到平衡方程(1)和力边界条件(4)的等效积分形式:收稿日期:2007-03-26基金项目:燕山大学博士基金(B272)作者简介:刘聪(1982-),女,硕士研究生,主要研究方向:无网格数值方法通讯作者:夏茂辉(1963-),男,教授,博士,主要研
5、究方向:无网格数值方法和计算力学%816%黑龙江大学自然科学学报第24卷--∀#(ui)=!∀ui(ij,j+fi)d-!∀ui(ijnj-ti)d!(6)t对上式体积分中的第一项利用分部积分,并考虑到应力张量ij的对称性以及∀ui=0,有!u--∀#(ui)=!(-∀ijij+∀uifi)d+∀uitid!=0(7)!t式(7)为虚位移原理,它是与平衡方程(1)和力边界条件(2)等效的积分弱形式。写成矩阵的形式有--TT∀#(u)=!(∀-∀uf)d-!∀utd!=0(8)t--[3]式中u为位移列阵,f为体力列阵,t为指定面力
6、列阵。对二维问题有------TTTTTu=[u1,u2],f=[f1,f2],t=[t1,t2],=[xx,yy,2xy],=[xx,yy,xy],=D1∃00E0∃010其中弹性矩阵D为D=21-∃01-∃0002E∃对平面应力问题E0=E,∃0=∃;对平面应变问题E0=2,∃0=.1-∃1-∃将无网格近似函数式hu(x)∀u(x)=NIuI=Nd(9)NI0u1IT式中NI=,uI=,N=[N1,N2,#,NN],d=[u11,u21,u12,u22,#,u1N,u2N].0NIu2I代入式(8)中,并考虑到∀d的任意性,得Kd=P(10)其中NI,x0--TTTK=!B
7、DBd,P=Nfd+Ntd!,B=[B1,B2,#,BN],BI=0NI,y(11)!!tNI,yNI,x式(11)中的前两项的积分采用数值积分来计算。无网格的数值积分是一个难点,因为它不能像有限元法那样按照网格单元进行积分。目前采用的数值积分方法主要有节点积分算法、背景网格算法和有限元背景网格算法等。在无网格Galerkin方法中采用背景网格积分算法,这一方法采用高斯积分,而每个网格中的高斯点阶数nQ是由背景网
