有关积分的证明问题

《有关积分的证明问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、有关积分的证明问题一、考情分析有关积分等式与不等式的证明问题，通常可以利用定积分的性质，积分中值定理，微分中值定理等进行证明.二、典型题型及例题分析题型一有关积分等式的证明问题方法提示：证明定积分的等式，方法灵活，一般使用定积分的换元积分法和分部积分法．具体做法归纳如下：(1)若等式一端的被积函数为fx()，而另一端含有fx[()]，可作变量代换ux()；(2)若等式两端的被积函数均为fx()的形式，而积分区间不同，要根据积分限之间的关系选取变量代换；(3)若被积函数出现sin,cosxx或f(sin),(cos)

2、xfx时，常用变量代换xuπ或πxu；2(4)若被积函数含有fx'()或fx''()时，可考虑用分部积分法；(5)若被积函数含有变限定积分，则应将变限定积分作为分部积分公式中的ux()，用分部积分法进行证明．2224dxx4d【例1】设fx()连续,证明fx()fx()．11x2xxx【分析】证明不含中值的定积分的等式：这种题型的证明一般使用定积分的换元积分法和分部积分法．2【解析】本题首先根据等式两端的被积函数的特点，可作变量代换ux，然后由积分区间不同，则根据积分上、下限之间的关系选取变量代换.

3、2244dxu令xu4d1244duu4d2由于fx()fu()[fu()fu()],11x2xu2u212uuuu4令u414dutt44fu()ft()(d)t22uut4t2224dtu4dft()fu(),11ttuu224dx24du24dx所以fx()fu()fx().1x2x1uu1xx~1~【例2】设函数fx()在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且fx'()0.若极限f(2xa)lim存在，证明：xaxa(1)在(,)ab内fx

4、()0；22ba2(2)在(,)ab内存在点，使；bfxx()df()a222b(3)在(,)ab内存在与(2)中相异的点，使f'()(ba)fxx()d。aa【分析】(1)利用极限存在的性质和连续的概念可得证.(2)两个函数在[,]ab两端点差的比值，因此，考虑利用柯西中值定理.22ba2(3)通过变形化为，依然利用柯西中值定理证明.bfxx()dfa'()()af(2xa)【解析】(1)因为极限lim存在，故lim(2fxa)0，而fx()在[,]ab上xax

5、axa连续，故fa()0.又fx'()0，那么fx()在(,)ab内单调增加，故fx()fa()0,x(,)ab.(2)方法一：x2设Fx()x，gx()ftta()d,(xb)，则gx'()fx()0，故Fxgx(),()a满足柯西中值定理，于是在(,)ab内存在点使222Fb()Fa()ba()'x，baxxgb()ga()ftt()dftt()d(ftt()d)'aaa22ba2即.bfxx()df()a方法二：bx222设Fx()xftt()d

6、(ba)ftt()d，显然Fx()在[,]ab上连续，在(,)ab内aa可导，且bbb2222Fb()baftt()d(ba)aftt()daaftt()d，bab2222Fa()aaftt()d(ba)aftt()daaftt()d，~2~b22根据罗尔定理，存在(,)ab，使得F'()0，即2ftt()d(ba)()f，a22ba2故.bfxx()df()a(3)方法一：因为f()f()0f()fa()，在[,]a上应用拉格朗日中值定理，知在存

7、在一点(,)a，使得f()f'()(a)，从而22ba2222b，即f'()(ba)fxx()d.bfxx()dfa'()()aaa方法二：bx222设Fx()xftt()d(ba)ftt()d，那么aab22Fx'()2xftt()d(ba)()fx，则ab22F'()Fa'()2(a)ftt()d(ba)()f.aF'()Fa'()根据拉格朗日定理知，存在(,)a，使得F''()，a222b即f'()(ba)f

8、xx()d.aa题型二有关积分不等式的证明问题证明定积分不等式时常用的结论有：定积分的性质(比较大小和估值定理等),函数的单调性,微分中值定理,积分中值定理,泰勒公式等．1．若被积函数在积分区间上连续,则可构造辅助函数,利用函数的单调性证明不等式．辅助函数的构造方法：将要证结论中的积分上限(或下限)换成x,式中相