泛函分析课后习题答案

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1、第七章习题解答1．设（X，d）为一度量空间，令U(x,){x

2、xX,d(x,x)},S(x,){x

3、xX,d(x,x)}0000问U(x,)的闭包是否等于S(x,)？00解不一定。例如离散空间（X，d）。U(x,1)={x}，而S(x,1)=X。000因此当X多于两点时，U(x,1)的闭包不等于S(x,1)。002设C[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义(r)(r)1f(t)g(t)d(f,g)rmaxatb(r)(r)r021f(t)g(t)证明

4、C[a,b]按d(f,g)成度量空间。证明(r)(r)f(t)g(t)（1）若d(f,g)=0，则max=0，即f=gatb1f(r)(t)g(r)(t)(r)(r)1f(t)g(t)（2）d(f,g)rmaxatb(r)(r)r021f(t)g(t)(r)(r)(r)(r)1f(t)g(t)h(t)g(t)rmaxatb(r)(r)(r)(r)r021f(t)g(t)1h(t)g(t)(r)(r)(r)(r)1f(t)g(t)1h(t)g(t)

5、rmaxatb(r)(r)rmaxatb(r)(r)r021f(t)g(t)r021h(t)g(t)=d（f，g）+d（g，h）因此C[a,b]按d(f,g)成度量空间。3．设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集o,oo包含12nB，而且oB。nn11证明令oBo{d(x,B)},n1,2.o是开集：设xo，则存在nnn0nn11xB，使d(x,x)。设d(x,x)0,则易验证U(x,)o，这就101010nnn证明了o是开集n1显然o

6、B。若xo则对每一个n，有xB使d(x,x)，因nnn1n1n1n此xx(n)。因B是闭集，必有xB，所以oB。证毕nnn1___d(x,y)4设d（x，y）为空间X上的距离，证明d(x,y)1d(x,y)是X上的距离___证明（1）若d(x,y)0则d(x,y)0，必有x=yt（2）因d(x,y)d(x,z)d(y,z)而在[o,)上是单增函数，1t___d(x,y)___d(x,z)d(y,z)于是d(x,y)d(x,y)1d(x,y)1d(

7、x,z)d(y,z)d(x,z)d(y,z)=1d(x,z)d(y,z)1d(x,z)d(y,z)d(x,z)d(y,z)_____=d(x,z)d(y,z)。证毕。1d(x,z)1d(y,z)5，证明点列{f}按习题2中距离收敛与fC[a,b]的充要条件为f的nn各阶导数在[a，b]上一致收敛于f的各阶导数证明若{f}按习题2中距离收敛与fC[a,b]，即n(r)(r)f(t)f(t)1nd(f,fn)rmax(r)(r)——>0(n)2atb1()()r

8、0fntft(r)(r)f(t)f(t)1n因此对每个r，rmax(r)(r)——>0(n)，这样2atb1()()r0fntft(r)(r)(r)maxf(t)f(t)——>0(n)，即f(t)在[a，b]上一致收nnatb(r)敛于f(t)。反之，若的f（t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于f（t），则任意no，存在r，使01(r)(r)r；存在Nr，使当nNr时，maxfn(t)f(t)rro122,r0,1,2,r，取N=max{NN

9、}，当n>N时，01N2r0(r)(r)f(t)f(t)1nd(f,fn)rmax(r)(r)2atb1()()r0fntft(r)(r)f(t)f(t)1n1rmax(r)(r)rr0.r02atb1f(t)f(t)rr122r2no0即d(f,f)——>0(n)。证毕n6设B[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集{f

10、当tB时f（t）=0}C[a,b]中的闭集，而集A={f

11、当tB时，

12、f（t）

13、〈a}（a0）为开集的充要条件是B

14、为闭集证明记E={f

15、当tB时f（t）=0}。设{f}E，{f}按C[a,b]中nn度量收敛于f，即在[a，b]上f(t)一致收敛于f（t）。设tB，则nf(t)limf(t)0，所以fE，这就证明了E为闭集nn下面证明第二部分充分性。当B是闭集时，设fA。因f在B上连续而B是有界闭集，必有tB，使f(t)maxf(t)。设af(t)0。我们证000t