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1、泛函分析习题答案第二章度量空间作业题答案提示1、试问在上，能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,而，2、试证明：（1）;(2)在上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到故有（2）仅证明三角不等式易证函数在上是单调增加的，所以有,从而有令,令即4.试证明在上，2-6泛函分析习题答案定义了度量。证：（1）（因为x,y是连续函数）及显然成立。5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明证：8.试证明下列各式都在度量空间和的Descartes积上定义了度量证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设，
2、，则2-6泛函分析习题答案（3）9、试问在上的是什么？上图像以为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑并确定使得的最小，其中。2-6泛函分析习题答案11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设是离散度量空间的任一子集。，开球，故事开集。同样道理，知是开的，故又是闭集。12．设是的聚点，试证明的任何邻域都含有的无限多个点。证：略。13．（1）若度量空间中的序列是收敛的，并且有极限，试证明的每个子序列都是收敛的，并且有同一极限。（2）若是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列，，试证明也是收敛
3、的，并且有同一极限。（1）略（2），，当时，有，（是Cauchy序列且）因此，当时，2-6泛函分析习题答案18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若是Cauchy序列，则存在,使得对于一切,有,因此，对于一切，有19.若和都是度量空间中的Cauchy列，试证明：是收敛的。证：根据三角不等式，有故，同样有：即：而是完备的，则是收敛的。34.若是紧度量空间，并且是闭的，试证明也是紧的。证明：因为是紧的，故中任一序列有一个在中收敛的子序列。不妨设，则有。又因是闭的，所以，因此是紧的。2-6泛函分析习题答案2-6泛函分
4、析习题答案第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是上的范数（1）；(2);(3);是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略不是范数，不满足三角不等式。以为例，令则13.试证明（1）、和都是的线性空间，其中是收敛数列集；是收敛数列0的数列集；是只有有限个元素的数列集。（2）还是的闭子空间，从而是完备的。（3）不是的闭子空间。证明：（2）设，,使得.则有任意的，使得对于一切，当,时有,又因为，所以当时从而有3-14泛函分析习题答案于是，故14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令，则，且于
5、是，收敛但15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。证：设{X}是X中任一Cauchy列，则kN，n，s.t.当m，nn时，。而且对一切的k，可选取n>n，从而{S}是{S}的一个子列，并且令X=S，X=S-S，则{S}是级数的部分和序列，从而3-14泛函分析习题答案于是绝对收敛，故收敛。不妨设SSX，由于{X}是Cauchy列，故又由于{S}是任意的，故证明X是完备的。17.设（X，）和（X，）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X*X在定义范数=max{，}后也成为赋范线
6、性空间。证：（1）=0==0X=（0,0）=（2）=max{，}=max{，}=（3）设X=（X，X），y=（y，y），则20.（1）若和是X上任意两个等价范数，试证明（X，）和（X，）中的Cauthy序列相同（2）试证明习题10中的三个范数等价3-14泛函分析习题答案证：设{X}是（X，）中的任一Cauthy序列，即，N，当n，m>N时，由于和是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b使ab（*）于是当nm>N时，有即x是（X，）中的Cauthy序列。反之，若{x}是（X，）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等
7、式，可证{x}是（X，）中的Cauthy序列。（2）R是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。20(2)的直接证明：证明在中，范数、和等价，其中；；证，，故和等价。由Cauchy-Schwart不等式，得，故有3-14泛函分析习题答案再有我们得故与等价29.若：是可逆的线性算子，x1,,xn是线性无关的，试正明,,也是线性无关的.证：若存在λ1，，λn∈Ф且不全为零，使得,则由于存在且为线性的，故,与x1,,xn线性无关矛盾。32.若是有界性算子，试证明对满足的任意，都有.思路：由即证结论。33.设Τ：∞→∞使得
8、，试证明证：设，，则3-14泛函分析习题答案=从而T是线性算子.,所以.进一步可以证明.37.设使得（1）试求和（2）试问吗？（1）是满足且在上连续可微分的函数构成的的子空间，且。（2）是线性的，但是无界的。事实上，，蕴含着38.在C[0,1]上分别定义和(1)试问S和T是可交换的吗?(2)试求，，和修改，，，3-14泛函分析习题答案(1),,
