矩阵及其特征值计算

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1、第5章矩阵及其特征值计算1•1特征值性质及其估计•2幂法及反幂法•3QR3QR方法矩阵计算的基本问题¾线性方程组解Ax=b¾超定方程组的二乘解min

2、

3、Ax−b

4、

5、2¾矩阵特征值和特征向量Ax=λx一、问题矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、偏微分方程组的求解等问题都会用到该理论。4矩阵特征值Ax=λx©求绝对值最大的特征值©求全部特征值5二、特征值与特征向量设A为n阶方阵，如果存在数λ和n维非零向量X使得AX=λX，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量X称为A的属

6、于特征值λ的特征向量。注意(1)特征值λ可以为零；(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。比如，若X是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，0则也kX(k≠0)是A的属于特征值λ的特征向量。06定义1⑴已知n阶矩阵A=(a)，则ij⎛λ−a11−a12L−a1n⎞⎜⎟⎜−a21λ−a22L−a2n⎟ϕ(λ)=det(λI−A)=det⎜⎟MMOM⎜⎟⎜⎟aaLλa⎝−n1−n2−nn⎠nn−1=λ−(a+a+L+a)λ+(次数≤n−2的项)1122nn称为A的特征多项式.A的特征方程ϕ(λ)=det(λI−A)=0(1.1)一般有n个根(

7、实的或复的，重根按重数计算)称为A的特征值.用λ(A)表示A的所有特征值的集合.注：当A为实矩阵时，ϕ(λ)=0为实系数n次代数方程，其复根是共轭成对出现.8⑵设λ为A的特征值，相应的齐次方程组(λI−A)x=0(1.2)的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.9例1求A的特征值及特征向量，其中⎛210⎞⎜⎟A=⎜131⎟⎜⎟⎝012⎠解矩阵A的特征方程为λ−2−10ϕ(λ)=det(λI−A)=−1λ−3−10−1λ−232=λ−7λ+14λ−8=(λ−1)(λ−2)(λ−4)=0.求得矩阵A的特征值为：λ=1,λ=2,λ=4.对应

8、于各特征值矩阵A的特征向量分别为：⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟x1=⎜−1⎟,x2=⎜0⎟,x3=⎜2⎟.⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝−1⎠⎝1⎠计算问题关于计算矩阵A的特征值问题，当n＝2,3时，我们还可按行列式展开的办法求ϕ(λ)=0的根.但当n较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出ϕ(λ)的系数，再求ϕ(λ)的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值及特征向量的数值解法.三、基本性质下面叙述有关特征值的一些结论：定理1设λ为A∈Rn×n的特征值,且Ax=λx(x≠0)，则有⑴cλ为的cA特征值

9、(c≠0为常数)；⑵λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x；⑶λk为Ak的特征值，即Akx=λkx；⑷设A为非奇异矩阵，那么λ≠0,且λ-1为A-1的特征值，即A-1x=λ-1x.定理2设λ(i=1,2,L,n)为n阶矩阵A=(a)的特征值，iij则有nn⑴称∑λi=∑aii=tr(A)为A的迹；i=1i=1⑵A=λ1λ2Lλn.定理3设A∈Rn×n，则有Tλ(A)=λ(A).定理4设A为分块上三角矩阵，即⎡A11A12LA1m⎤⎢⎥ALAA=⎢222m⎥,⎢OM⎥⎢⎥⎣Amm⎦n其中每个对角块Aii均为方阵，则λ(A

10、)=Uλ(Aii).i=115定理5设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使B=P-1AP），则⑴A与B有相同的特征值；⑵如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量.定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征值不变.定理6⑴A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩阵P使⎡λ1⎤⎢⎥λP−1AP=⎢2⎥,⎢O⎥⎢⎥λ⎣n⎦的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.⑵如果A∈Rn×n有m个(m≤n)不同的特征值λ,λ,L,λ，则对应的特征向量x,x,L,x线性无关.12m12m定理7(对称矩阵的正交约化)设A∈Rn×n为对称矩阵，则⑴A的特

11、征值均为实数；⑵A有n个线性无关的特征向量；⑶存在一个正交矩阵P使的⎡λ1⎤⎢⎥λPTAP=⎢2⎥,⎢O⎥⎢⎥⎣λ⎦n且λ,λ,L,λ为A的特征值，而P＝(u,u,L,u)列向量12n12nu为A的对应于λ的单位特征向量.jj四、特征值估计下面讨论矩阵特征值界的估计.定义3设n阶矩阵A=(a)，令ijn⑴ri=∑aij(i=1,2,L.n)；j=1j≠i⑵集合Di={z

12、z−aii≤ri,z∈C}(i=1,2,L,n)称为复平面上以a为圆心，以r为半径的n阶矩阵A的niii个Gerschgorin(格什戈林)圆盘.定理8(Gerschg

13、orin圆盘定理)⑴设n阶矩阵A＝(a)，则A的每一个特征值必属ij于下面某个圆盘之中nλ−aii≤ri=∑aij(i=1,2,L.n)j=1j≠i或者说A的特征值都在n个圆盘的并集中.⑵如果A有m个圆盘组