矩阵特征值的计算

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时间:2019-09-11

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1、第七章矩阵特征值的计算数值分析——正交变换与QR算法王伟1主要内容正交变换Sturm序列与二分法QR算法Givens变换Householder变换基本算法具有移位的QR算法2实对称阵特征值的计算通过正交变换,将实对称矩阵约化为三对角阵,利用Sturm定理隔离特征值,最后用二分法求出所需特征值。3Givens变换4引例令005Givens变换定义:称矩阵为Givens变换,或旋转变换。ijij6Givens变换性质(1)只有四个元素与单位矩阵不同(2)正交:(3)如果A是对称阵,则也是对称阵(4)用G左

2、乘一个矩阵时,只改变该矩阵中两行的值(5)用G右乘一个矩阵时,只改变该矩阵中两列的值7Givens变换定理:设x=(x1,...,xi,...,xj,...,xn)T,且xi,xj不全为零,则存在Givens变换G=G(i,j,),使得8Givens变换计算步骤(1)构造矩阵。一般地,对第i行Givens变换,构造,其中(2)Givens变换:。经过变换可以把上的元素化为0。通过次变换,可以约化为三对角阵。9例1应用Givens方法把矩阵约化为三对角阵。解:设,令,得,则Givens变换10Give

3、ns变换由,令,得则同理,得11Householder变换12Householder变换1985年,A.S.Householder提出用初等Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三对角阵,只需要(n-2)次变换(Givens方法需要(1/2(n-1)(n-2))次变换)就能达到简化目的。13Householder变换定义:设且,称矩阵为Householder变换。14Householder变换性质(1)对称:(2)正交:(3)对合:(4)保模:(5)15Householder变换定理:设x,

4、yRn,xy且

5、

6、x

7、

8、2=

9、

10、y

11、

12、2,则存在n阶Householder变换H,使得y=Hx16Householder变换定理:对任意的非零向量xRn,存在Householder变换H,使得Hx=e1其中=sgn(x1)

13、

14、x

15、

16、2,e1=(1,0,...,0)T,的选取是为了防止在实际计算中与x1互相抵消若x1=0,则取=

17、

18、x

19、

20、217Householder变换计算步骤(1)构造矩阵。,其中为k维向量(2)Householder变换。经过变换可以把上的元素化为0。其中通过(n-2

21、)次变换,可以约化为三对角阵。18Householder变换例2对例1中的矩阵,用Householder变换约化为三对角阵。解:,得向量,因此,,得19Householder变换当矩阵比较稠密时,具有更高的效率20Sturm序列与二分法21Sturm序列与二分法设C是n阶对称阵A通过前面两种方法之一,约化为的三对角阵。22Sturm序列与二分法其特征多项式多项式序列是一个Sturm序列。应用Sturm定理,可以求出在内实根的个数和隔离出C的特征值区间,原则上可以用二分法求出全部或者部分特征值。规定23

22、Sturm序列与二分法例3考察矩阵C的特征值分布解:C的特征多项式对应的各阶主子式:构成一个Sterm序列。24Sturm序列与二分法考察当时,多项式序列的変号数+-+-+4+0-0+2+++++0+++++0由表可知,在内有两个特征值,在(-2,0)内有两个特征值,在没有特征值。然后用二分法可以求得所需精度的特征值。25一般矩阵特征值的计算对任意非奇异矩阵,用QR算法迭代,它将收敛于一个上三角阵,主对角线上的元素近似为矩阵的特征值。26QR算法27QR算法定理:设矩阵A是n阶非奇异实矩阵,则存在正交

23、分解A=QR其中Q是正交矩阵,R是非奇异上三角矩阵。若限定R的对角线元素为正数,则此分解唯一。28QR算法设(j=1,...,n)(1)构造H1使得H1a1=1e1,令(2)构造使得,令QR分解29QR算法以此类推,经过n-1步,可得Householder矩阵H1,H2,...,Hn-1,使得令,即得30QR算法例4用Householder变换计算的QR分解。解:设,则31QR算法同理,构造32QR算法基本算法设为n阶实矩阵,对A进行QR分解,,再令即完成一次迭代。一般地迭代式,由此得到矩阵序列。收

24、敛于上三角矩阵(或分块上三角矩阵),从而可以求出A的全部特征值与特征向量。其中k=1,2,3,...每一次迭代计算量较大,常常先把实矩阵A用Househouder法约化为拟上三角阵。33QR算法定理:设,进行QR分解并迭代记,则有(1)相似于A;(2)的QR分解为。34QR算法具有移位的QR算法设A为n阶实矩阵,令,取适当的数对矩阵作QR分解令,这样完成一次迭代。一般地,可以证明与相似,中所有的矩阵具有相同的特征值集。35QR算法(1)设A经相似变换后已

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