曲线和曲面造型基础

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1、第2章曲线和曲面造型基础2.1微分几何基础2.3NURBS曲线与曲面2.2图形变换2.4曲线与曲面造型方法2.1微分几何基础1、矢量代数空间三维点P（x1,y1,z1)的矢量表示：2.1微分几何基础矢量加法：矢量点乘：点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。2.1微分几何基础矢量叉乘：2.1微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a和b所构成的平行四边形的面积。2、曲线几何曲线的表示方法：隐式曲线：显式曲线：参数曲线：2.1微分几何基础隐式：显式：参数:2.1微分几何基础有理多项式参数形式：以直线PQ与x轴的夹角

2、α为参数：2.1微分几何基础隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。2.1微分几何基础参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：2.1微分几何基础曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。2.1微分几何基础速率：2.1微分几何基础单位切矢：不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。弧长：单位切矢：链式法则：2.1微分几何基础曲率：曲率的定义：链式法则后：二维显式曲线y

3、=y(x)的曲率：2.1微分几何基础法矢：主法矢的定义：副法矢：切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。2.1微分几何基础曲率半径：定义为密切圆的半径，即2.1微分几何基础例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。2.1微分几何基础空间曲线的挠率：空间曲线Serret-Frenet公式：2.1微分几何基础3、曲面几何曲面表示的分类：隐式曲面：显式（非参）曲面：参数曲面：或2.1微分几何基础参数域上的二维曲线：映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线的定义。2.1微分几何基础曲面的切矢：2.1微分几何基础曲面的法矢：2.1微分几何基础2.1微分几何基础第一基本式矩阵：切矢的模：切矢：

4、第一基本式矩阵：2.1微分几何基础应用：计算曲面的面积单位切矢：2.1微分几何基础2.1微分几何基础第二基本式矩阵：点乘单位法氏n，有第二基本式矩阵：2.1微分几何基础法曲率：点乘单位法氏n，有法曲率：2.1微分几何基础法曲率：2.1微分几何基础主曲率：2.1微分几何基础2.1微分几何基础2.2图形变换在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表

5、达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标—点的坐标变换。2.2图形变换齐次坐标的概念：2.2图形变换齐次坐标下的图形变换：2.2图形变换1、二维变换基本变换比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。变换矩阵：2.2图形变换2.2图形变换2.2图形变换2.2图形变换2、三维变换基本变换比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等。变换矩阵：2

6、.2图形变换基本变换2.2图形变换2.2图形变换组合变换2.2图形变换2.2图形变换2.2图形变换Bézier曲线的定义为曲线的控制顶点Bernstein基函数2.3NURBS曲线与曲面1、Bézier曲线2.3NURBS曲线与曲面Bernstein基函数的性质非负性权性对称性递推性导数递推性端点处：2.3NURBS曲线与曲面非负性权性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS曲线与曲面非负性规范性对称性递推性导数递推性2.3NURBS曲线与曲面非负性规范性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS曲线与曲面非负性规范性对称性递推性导数递推性证明：2.3NURBS

7、曲线与曲面端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性通过首、末控制顶点2.3NURBS曲线与曲面端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性因为所以类似地有：跟首末各一条边有关跟首末各两条边有关2.3NURBS曲线与曲面端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。2.3NURBS曲线与曲面端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性☆由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即则新曲线为：2.3