参数曲线曲面基础.ppt

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1、第4讲参数曲线曲面基础提出问题由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。概述工业产品的几何形状：初等解析曲面如：平面、圆柱面、圆锥面等，可用画法几何与机械制图处理所包含的图形信息。以复杂方式自由变化的曲线曲面由所谓的自由曲线曲面组成，如：飞机、汽车、船舶的外形零件等，用单纯的画法几何与机械制图是不能表达清楚的。对复杂方式自由变化的曲线曲面的表示：模线样板法：以模拟量传递形状信息计算机辅助几何设计CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）：用数学方法表示，以数值量传递

2、形状信息。概述CAGD中，依据定义形状的几何信息可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型，并在计算机上通过执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息。其间，通过分析与综合就可了解所定义形状具有的局部和整体的几何特征。实际上，在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机表示，即需建立既适合于计算机处理，又有效地满足形状表示与几何设计要求．同时还便于进行形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。8.1曲线曲面基础8.1.1曲线曲面数学描述的发展弗格森双三次曲面片首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，最早引入参数三次曲线，为自由曲线曲面数学描述提供了一种标准形式。孔

3、斯双三次曲面片一个具有一般性的曲面描述方法；目前孔斯双三次曲面片得到广泛应用；同前者一样都存在形状控制与连接的问题。样条方法提供了解决连接问题的一种技术。在构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线、曲面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，曲线、曲面的形状难以预测。8.1.1曲线曲面数学描述的发展Bezier方法以逼近为基础构造曲线、曲面，由控制多边形定义曲线，通过移动控制点就可修改曲线形状。仍存在连接问题和局部修改问题。B样条方法克服了前者的不足，解决了局部控制问题，在参数连续基础上解决了连接问题。非均匀有理B样条方法用于曲线曲面描述的最为流行的方法8.1.1曲线曲面数学描述的发展1.唯一

4、性:由给定的有限信息决定唯一的形状。2.几何不变性:由给定的有限信息所确定的形状，不随所取得坐标系不同而改变。3.易于定界：几何形状数学描述易于定界.4.统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况.5.易于实现光滑连接:在表达复杂形状时，经常需要将曲线段进行连接，或曲面片进行连接。6.几何直观：几何意义明显。8.1.2曲线曲面的表示要求非参数表示显式表示隐式表示直线：y=kx+b8.1.3曲线曲面的表示参数方程表示形式解析几何中，空间曲线上一点的每个坐标可表示为某个参数的函数。用参数形式来表示圆：x(u)=cos(u)y(u)=sin(u)0<=u<=90o或：8.1.3曲线曲面的表示对于空间

5、中任意点p：三个坐标分量组成了曲线上该点的位置矢量，曲线可表示为参数t的矢量函数：每个坐标分量都是t的标量函数这种矢量函数表示等价于如下的笛卡尔分量表示：i，j，k为单位矢量8.1.3曲线曲面的表示对于矢量函数表示，给定一个参数t值，就得到曲线上一个坐标。由于我们一般只对曲线的一段感兴趣，将参数限制在[a,b]内，参数在[a,b]内连续变化就得到了曲线。为了方便，可用将参数规格化到[0,1]8.1.3曲线曲面的表示8.1.3曲线曲面的表示参数表示方法的优点：1．点动成线2．可以选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式3．斜率4．t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的5．可对参数方程直接进

6、行仿射和投影变换6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来同一条曲线，可以用不同的参数形式表达,例如和弧长是曲线的不变量，以弧长为参数来研究曲线的内在性质有重要意义。设已知曲线的矢量方程为：根据弧长微分公式：§8.1.4曲线的自然参数方程可见，弧长是参数t的单调增函数，故其反函数t(s)存在。一般参数方程就化为了自然参数方程§1.3曲线的自然参数方程同一条曲线，可以用不同的参数形式表达,例如和弧长是曲线的不变量，以弧长为参数来研究曲线的内在性质有重要意义。设已知曲线的矢量方程为：根据弧长微分公式：§1.3曲线的自然参数方程可见，弧长是参数t的单调增函数，故其反函数t(s)存在。一般参数方

7、程就化为了自然参数方程§1.3曲线的自然参数方程1.4曲线论的基本公式首先建立曲线上某点的局部坐标系——基本三棱形（Frenet标架）对于自然参数方程曲率矢单位切矢单位主法矢曲率单位副法矢曲率表示曲线在某点处的切矢方向对弧长的导数1.5曲率、挠率的意义及计算1.5曲率、挠率的意义及计算挠率表示曲线在某点处的副法矢方向对弧长的导数1.曲面的等参线、偏导矢、混合偏导矢2.曲面的法矢同样可以定义混合偏导矢、高阶偏导