高等数学训练之导数及微分

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1、第二讲导数与微分§1重要内容一．定义1．导数的定义①②若存在，则，其中变化；若存在，则，；若存在，则，其中变化；若存在，则，。2．约分定义或者二．性质1．存在2．可导可微连续有极限三．应用斜率，曲率（半径），弧长（弧微分）四．设在处连续，则在处可导。特殊：在不可导；在处可导。讨论：在处可导性思路：讨论是否为0。（，则不可导）§2题型与例题分析题型一：利用导数定义解题1．已知极限求导数或已知导数求极限；2．讨论分段函数在分界点处的可导性；3．抽象函数没有给出的导函数存在，讨论在处的可导性，或求；4．涉及例1：设f(x)是可导的偶函数，它在的某邻域内满足，求在处的切线方程。[分析]：为奇函数，方

2、程，。解：即：切线方程为：例2：设f(x)在的某邻域内连续，在处可导，则在处[]：（A）可导，且导数为（A）可导，且导数为（B）可导，且导数为（C）不可导[分析]：①若，导数为②若，设，则的一个邻域使导数为：设，同理可得导数为：-导数为：故选：B例3：设f(x)在的某邻域内一阶可导，且则，使得曲线[]:（A）在内向上凹（B）在内向下凹（C）在内，在内（D）在内，在内[分析]：，在内有故在内；在内。故选：D例4：设f(x)在内有一阶连续导数。且证明：①对于，。唯一的，使。①。证明：①由拉氏中值定理：，使。连续，且或者单调，是唯一的。②即有：例5：设在内有定义，且，。证明：。证明：令，，例6：设

3、f(x)有连续的二阶导数，且，求曲线在处的曲率半径。[分析]：解：又注意条件：题型二：分段函数的导数：例7：函数的不可导点为：[分析]：令，则；，；，；，；所以不可导点为：例8：设。讨论在处的可导性。解：。当时，存在，且为0；当时，当时，在处连续。例9：设连续。，且。求，并讨论在处的连续性。解：，。令。则又；当时，并讨论在处的连续性。例10：设在内有定义，有，当时，有。问：是否存在？[分析]：，解：当，不存在。题型三：利用公式或法则求导。关键：复合求导！与的区别：例11：设，求，，解：令，，；例12：设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长。求解：题型四：高阶导数①求，

4、数学归纳法②求：A：数学归纳法；B：函数幂级数展开例13：，求。解：例14：设任意阶可导。且，求。解：证明：假定时，成立，则，当时，假设成立，结论正确。题型五：讨论方程根的个数，使得[结论]：设在内有且。则方程在内有唯一实根。例15：确定方程的根的个数，并指出范围[分析]：。解：有。①，所以有一个根；②③当时，有3个根：；当时，有2个根：当时，有1个根：。[变形]：已知方程有两个实根，讨论参数的取值范围。例16：设当时，方程有唯一实根，求的取值范围。[分析]：分离参数：解：，，，。①当时，无根；②当时，是唯一根；①当且时，有唯一根。的取值范围是；或者。例17：设在内二阶可导。且，。又存在使得

5、。问在内有几个实根。[分析]：存在，使，找，使。解：存在，使。令，；使；，使；，使得；，使；，使；假设有3个根。即存在使；由罗尔定理：，使；，使；，使。这与矛盾。方程恰好有2个根。