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《高等数学考研大总结之四导数与微分.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、专业.专注第四章导数与微分第一讲导数一，导数的定义：1函数在某一点处的导数：设在某个内有定义,如果极限(其中称为函数在(,+)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数在处的变化率)存在则称函数在点可导.并称该极限值为在点的导数记为,若记则==解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法:,,。⑶函数在某一点处的导数是研究函数在点处函数的性质。⑷导数定义给出了求函数在点处的导数的具体方法,即：
2、①对于点处的自变量增量,求出函数的增量（差分）=②求函数增量与自变量增量之比③求极限若存在,则极限值就是函数在点处的导数,若极限不存在,则称函数在处不可导。⑸在求极限的过程中,是常数,是变量,求出的极限值一般依赖于⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。⑺注意:若函数在点处无定义,则函数在点处必无导数,但若函数在点学习参考专业.专注处有定
3、义,则函数在点处未必可导。2单侧导数：设函数在某个（或）有定义，并且极限（或）存在，则称其极限值为在点的左（右）导数，记为：或（或）。左导数和右导数统称为单侧导数。函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。3函数在某一区间上的导数：⑴在内可导：如果函数在开区间内每一点都可导，则说在内可导（描述性）。⑵在内可导：如果函数在内可导且存在则说函数在上可导。4导函数：如果函数在区间I上可导，则对于任意一个都对应着唯一一个（极限的唯一性）确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称为函数的导函数。记为：或
4、或或，由此可知函数某一点处的导数实质是在点处的导函数值。解析：（1）区别与：表示函数在点处的导函数值，而表示对函数值这个常数求导，其结果为零。（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。5可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。二，导数的几何意义：当y=表示一条曲线时,则表示曲线在点的切线的斜率，的正和负分别表示曲线在该点是上升还是下降.的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度,越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之学习参考专业.专注越大说明曲线在该点的邻域内越陡,起伏明显
5、。解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。⑵过曲线y=上的点(,)的方程:①切线方程-=(x-).②法线方程:-=(≠0)⑶如果点P(A,B)在曲线y=外,那么过P点与曲线相切的切线有两条。⑷若=说明函数的曲线在点处的切线与x轴垂直。若=0则说明的曲线在点处的切线与x轴平行。三，导数的四则运算如果函数及都在点具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点具有导数。⑴⑵⑶解析：和差积可推广为有限项即：⑴⑵四，几类函数的求导法则1反函数的求导法则：如果函数在区间内单调且则它的
6、反函数y=在区间内也可导，且或即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。学习参考专业.专注解析：⑴且在点y处连续。⑵反函数求导法则的几何意义：由于是函数的曲线上点x处的切线与x轴正向夹角的正切。而反函数与y=在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数的自变量是y所以导数就是y=曲线上x的对应点y处的同一条切线与y轴正向夹角的正切，因此：即：（，之和为）2复合函数的求导法则（链式求导）：如果在点可导，而y=在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为：或。解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与和在某点是否可导
7、无关。⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。3隐函数求导法则：对方程所确定的隐函数求导，要把方程的两边分别对求导即可。在求导过程中应注意是的函数，所以在对或的函数求导时应理解为复合函数的求导。4参数方程求导法则：由参数方程所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：。解析：注意理解。5对数求导法则：是求幂指数型导数的有效方法即：对函数的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数化为与学习参考专业.专注相乘的一个因子，再利用上述方法求导。6两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。⑵可微分的偶函
8、数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于轴的图形其对称点的切线也关于轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。五，常见函数的一阶导数⑴（ｃ为常数）⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅⒆⒇（21）（22）（23）六，高阶导数设是函数在I上的导数，并且也在I上可导，则称在I上二阶可导，并称的导函数是在I上二阶导数，记为：或，一般地，设是在区间I上的阶导函数并
