框架的扰动与酉系统的膨胀性

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1、陕西师范大学硕士学位论文框架的扰动与酉系统的膨胀性姓名：赵建伟申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：曹怀信2003.4.1框架的扰动与酉系统的膨胀性赵建伟摘要框架概念最早由R、。】．Duffin和AGSchaeffer于1952年研究非调和tarrier级数时正式提出的，它在小波分析的发展中起到了非常重要的作用．近几年来，由于DRLarson，DeguangHan和XingdeDai把算子代数理论运用到框架理论的研究，提出酉系统，框架向量等概念，使得框架理论的研究更上一个层次．本文在此基础上引入了框架，酉系统的膨胀性以及小波类型酉系统

2、等一系列概念，并相应地研究了框架的扰动性，几种类型酉系统的膨胀性以及小波类型酉系统的基本性质＼f本文分三章讨论：＼第一章主要研究框架的扰动性．第一节先根据OleChristensen在Hilbert空间上框架扰动的两个重要结果，研究了更一般的情形，即当{厶)。∈A是日的一个框架时，日中的序列{啦)。∈A与{，Q)。eA有多接近的时候，{啦)。∈^也是日中的框架．第二节把Hilbert空闻上的框架推广到了Banach空间上的q阶框架，利用预框架算子简化了[9]中Banach空间上q阶框架的扰动性的证明过程，即序列{g。}。。z与x中的g阶框

3、架{厶)。∈z多接近时，{肌b。z也是x的q阶框架．第三节先引入酉系统的框架向量的概念，然后给出一个酉系统中框架向量的充要条件，最后得出两个框架向量rh与q2，分别经过两个算子A，B作用后，它们的和舢，+B啦在什么情况下仍是框架向量．第二章主要研究酉系统的膨胀性质．第一节先引入酉系统的膨胀性和Gabor类型酉系统的概念，介绍了群酉系统和Garbor类型酉系统都具有膨胀性第二节先给出群似酉系统的概念，定义了群似酉系统甜的一个酉表示A：“_÷_日(f2似))，并给出§={蛔』u∈m中元素的运算性质：(1)枷Ay=，(uy)A，fⅣ1，)；(2

4、)蛎1=y(u一1)^。(u一·)，从而得出g是群似酉系统．最后得出群似酉系统具有膨胀性．第三节引入小波酉系统的概念，给出了Ⅳ()的刻画，证明了小波酉系统具有膨胀性，第三章把小波酉系统推广到了小波类型酉系统“Dn第一节先给出小波类型酉系统及其框架向量的概念，得出(1)W(UD，r)={vcw∈扩(岛(／x'e，r))}i(2)q是蜘，了1的广义小波标准紧框架当且仅当存在o(UD，T)中的一个余等距算子』4使得q=一砂；(3)q是纠D，r的广义小波框架当且仅当存在唯一的算子A∈cj，(“D7)使得q=

5、A妒且aI≤AA’SbI．最后得出小波类型酉系统也具有膨胀性．第二节研究了小波类型酉系统酣D，T的一些结构性质：(1)1a口(‰)是u(吼(甜D．r))中的群，其中(Ⅷ为‰={Tql∈z}到Ⅳ(o泓D，r))的陕射髓足o∞(Ⅳ)妒=矿妒，(2)给出瓯(C／D，T)的等价条件；(3)u(睇(94D，T))是交换群．7，＼，关键词：酉系统；框架；预框架算子；膨胀性；小凌类型酉系统PerturbationofframeanddilationpropertyofaunitarysystemZhaoJianweiAbstract：Framestha

6、tplayallimportantroleinwaveletanalysisweIefirstlydefinedbyR．JDumnandA．GSchaefferin1952whentheystudiedthenun—harmoniousFourierseriesRecentlyD．R．Larson，DeguangHanandXingdeDaihaveputforwardsomedefinitionssuchasunitarysystem，framevectoiintotUlSofapplyingoperatortheorytothestu

7、dyofflametheory，whichmadetheresearchdeveloperapidly．Onthisfoundation，weintroducethedefinitionsofframe，dilationpropertyofaunitarysystemandwavelet—typeunitarysystemandstudytheframeperturbation；thedilationpropertyofsomespecialunitarysystemsandthebasicpropertiesofwavelet—type

8、unitarysystem．Thisthesisconsistsofthreechapters：Inchapter1wediscusstheperturbationofframesInthef