拉格朗日插值逐次线性插值法

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1、第二章函数的插值学习目标：掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等，等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。2.1.5Hermite插值多项式2.1.4均差和Newton插值多项式2.1.3逐次线性插值2.1.2Lagrange插值多项式2.1.1问题的提出2.1多项式插值给定空间一组有序的控制点（controlpoint），得到一条光滑的分段参数多项式曲线的方法:曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点进行插值，得到的曲线称为插值曲线。构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对这些

2、控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近(拟合)曲线。(a)5个控制点的插值曲线(b)5个控制点的逼近曲线本章先讨论插值问题，然后再讨论数据拟合的有关问题。拟合法就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点，而只要求在给定的上误差（i=0，1,…,n）按某种标准最小。若记δ=(δ1,δ2,…,δn)T，就是要求向量δ的范数

3、

4、δ

5、

6、最小。问题１：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式?情形１．函数f(x)在x０点的Taylor展开式－－称为函数f(x)的Taylor插值解:设例如：利用Taylor插值求利用T

7、ylor插值，有y=f(x)x0p(x)Tylor插值的缺陷：①Tylor插值中有导数运算，而计算机实现求导运算存在困难；②近似区间小,在大的区间上不可行．情形２在区间［a,b］上考虑函数f(x)的近似．y=f(x)ab求解：y=f(x)在[a,b]上的近似曲线？利用函数f(x)在区间[a,b]上一系列点的值yi=f(xi)（可通过观察、测量、试验等方法得到）y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn插值法解决思路根据f(x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)，作为f(x)的近似表达式，x0x1x2x3x

8、4xf(x)p(x)从几何上看曲线P(x)近似f(x)从代数上看，看p(x)满足以下代数条件p(xi)=yii=0,1,2,⋯,n这就是所谓的插值．然后计算p(x)在[a,b]上其它点x处的函数值作为原来函数f(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数(2.1)式称为插值条件，x2<⋯

9、[a,b]上有定义，且已知在a≤x0

10、产生的误差？问题2－插值多项式的构造②可设p(x)=a0+a1x+⋯+anxn①确定多项式p(x)的次数方法１：待定系数法要求插值多项式p(x)，可以通过求n+1个方程的解:得到。但这样做不但计算复杂，而且难于得到pn(x)的简单表达式。结论：n+1个插值节点产生的插值多项式至多是n次的．问题１－插值多项式的存在唯一性设pn(x)是f(x)的插值多项式，Hn表示次数不超过n的所有多项且pn(x)∈Hn.称插值多项式存在且唯一，就是指在由(2.1)可得(2.2)方程组(2.2)有唯一解插值多项式的唯一性≠0(xi≠xj)定理2.1满足条件(

11、2.1)的插值多项式存在且唯一。范德蒙行列式a0,a1,a2,⋯,an存在唯一p(xi)=yii=0,1,2,⋯,nHn中有且仅有一个pn(x)满足插值条件(2.1)式。式的集合。n+1个节点互异为求得便于使用的简单插值多项式p(x)，我们先讨论n=1的情形。当n=1时，要构造通过两点(x0,y0)和(x1,y1)的不超过1次的多项式p1(x)(后面记作L1(x))，使得2.1.2拉格朗日插值y0xy=f(x)y=L1(x)x0x1－－－称为线性（一次）插值（两点式）（点斜式）或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点x0,x1上线性插值

12、基函数------线性Lagrange插值多项式形式y10x0x1xl0(x)l1(x)节点上的线性插值基函数：满足y10x0x1x(2.3)(2.4)x0x1l0(x)10l1