小波变换课件ch4Mallat算法及二维小波

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1、第四章Mallat算法及二维小波小波变换应用于信号处理的一般过程4.1基于正交小波的分解算法由已知序列分别求出级的近似序列和级细节序列分解目标：如何分解？结论：序列和可分别由序列通过数字滤波器{}和{}，并对输出作偶数点抽样得到。推导:近似序列细节序列n多级分解无需尺度函数和小波函数的具体表达式离散小波变换的数据量不变性质从j=0开始经J级分解后最后得到j=0j=-1近似序列细节序列塔式数据塔式算法初始化问题,,=？按照定义实际上，原始数据就是j＝0的近似序列DWT的相图DWT分解树8点的DWT相

2、图4.2重构算法由已知近似序列和细节序列求出序列考虑到以及同级尺度函数的平移正交性，有令则则原数据每两个之间补0所得2l+s=k,<.,.>=1重构算法多级重构算法4.3边界处理以下两式的前提式信号为双向无限长序列，实际信号是有限长序列，矛盾解决方法：将信号以某种方式延拓为双向无限长序列边界处理问题一般的，数据的下标范围是0～N，滤波器记为，，其长度，那么分解过程就是四种延拓方法补零延拓简单周期延拓以边界点为对称中心的对称延拓边界值重复的对称周期延拓补零延拓简单保留多于N/2的信息才能重构长度为N的

3、序列如果信号的边界点的值与0差别很大，则会在边界处产生阶跃变化简单周期延拓数据总量保持不变当信号序列的两端边界值相差很大时，延拓后的信号将存在周期性的剧烈突变以边界点为对称中心的对称周期延拓step1从到，N’＝2N－2step2作N’周期延拓主周期内以n=0和n=N-1为对称中心延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变不重复S(0),S(N-1)当不对称时，数据总量几乎增大一倍当对称时，数据总量保持不变(1)L=2K+1,c(n)=c(-n)输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只

4、需保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列和并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为0)(2)L=2K+2,c(n)=±c(-1-n)输出序列是2N-2的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列和并采用同样的延拓方式实现重构。(滤波器的对称中心为-0.5)边界值重复的对称周期延拓作对称延拓时重复原信号的边界值主周期内以n=-0.5和n=N-0.5为对称中心延拓后的信号不存在周期性的剧烈突变重复S(0),S(N-

5、1)(1)L=2K-1,c(n)=c(-n)(2)L=2K,c(n)=±c(1-n)输出序列是2N的周期序列，且在一个周期内有两个对称中心，只需保留[0,N-1]的数据，然后进行下采样得到N/2点的序列和并采用同样的延拓方式实现重构。(采用偶数长的对称（反对称）滤波器的对称中心为＋0.5,奇数长的对称滤波器的对称中心为0)一维小波分解＆重构实例clc;clear;%1.正弦波定义f1=50;%频率1f2=100;%频率2fs=2*(f1+f2);%采样频率Ts=1/fs;%采样间隔N=120;%采样

6、点数n=1:N;y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts);%正弦波混合figure(1)subplot(2,1,1)plot(y);title('Signal')subplot(2,1,2)stem(abs(fft(y)));title('AmplitudeSpectrum')%%2.小波滤波器谱分析h=wfilters('db30','l');%低通g=wfilters('db30','h');%高通h=[h,zeros(1,N-length(h))];%补零（圆

7、周卷积，且增大分辨率变于观察）g=[g,zeros(1,N-length(g))];%补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）figure(2);subplot(2,1,1)stem(abs(fft(h)));%stem函数用于绘制火柴梗图title('Low-passFilter(V_{0})')subplot(2,1,2)stem(abs(fft(g)));title('High-passFilter(W_{0})')%3.MALLAT分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)sig1=ifft(f

8、ft(y).*fft(h));%低通(低频分量)sig2=ifft(fft(y).*fft(g));%高通(高频分量)figure(3);%信号图subplot(2,1,1)plot(real(sig1));title('Low-frequencyComponent')subplot(2,1,2)plot(real(sig2));title('High-frequencyComponent')figure(4);%频谱图subplot(2,1,1)stem(abs(f