斐波那契数列算法分析报告

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1、实用文案斐波那契数列算法分析背景：假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1,1,2,3

2、,5,8,13,21,34,55,89,144,...看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契（Fibonacci）数列。 有趣问题：1，有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?答：这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种方法……所以，1，2，3，5，8，13……登上十级，有89种。2，数列中相邻两项的前项比后项的极限是多少，就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+

3、1)的极限是多少？答：这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。 数学表示：Fibonacci数列的数学表达式就是：F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1F(2)=1 递归程序1：Fibonacci数列可以用很直观的二叉递归程序来写，用C++语言的描述如下：longfib1(intn){if(n<=2){return1;}else{returnfib1(n-1)+fib1(n-2);}}标准文档实用文案看上去程序的递归使用很恰当，可是在用VC2005的环境下

4、测试n=37的时候用了大约3s，而n=45的时候基本下楼打完饭也看不到结果……显然这种递归的效率太低了！！递归效率分析：例如，用下面一个测试函数：longfib1(intn,int*arr){arr[n]++;if(n<=2){return1;}else{returnfib1(n-1,arr)+fib1(n-2,arr);}}这时，可以得到每个fib(i)被计算的次数：fib(10)=1fib(9)=1fib(8)=2fib(7)=3fib(6)=5fib(5)=8fib(4)=13fib(3)=21fib(2)=34fib(1)=55f

5、ib(0)=34可见，计算次数呈反向的Fibonacci数列，这显然造成了大量重复计算。我们令T(N)为函数fib(n)的运行时间，当N>=2的时候我们分析可知：T(N)=T(N-1)+T(N-2)+2而fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)，所以有T(N)>=fib(n)，归纳法证明可得：fib(N)<(5/3)^N当N>4时，fib（N）>=(3/2)^N标准写法：显然这个O（(3/2)^N）是以指数增长的算法，基本上是最坏的情况。其实，这违反了递归的一个规则：合成效益法则。合成效益法则（Compoundinterestru

6、le）：在求解一个问题的同一实例的时候，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作。所以在上面的代码中调用fib(N-1)的时候实际上同时计算了fib(N-2)。这种小的重复计算在递归过程中就会产生巨大的运行时间。 递归程序2：用一叉递归程序就可以得到近似线性的效率，用C++语言的描述如下：标准文档实用文案longfib(intn,longa,longb,intcount){if(count==n)returnb;returnfib(n,b,a+b,++count);} longfib2(intn){returnfib(n,0,1,1);}这种

7、方法虽然是递归了，但是并不直观，而且效率上相比下面的迭代循环并没有优势。 迭代解法：Fibonacci数列用迭代程序来写也很容易，用C++语言的描述如下：//也可以用数组将每次计算的f(n)存储下来，用来下次计算用（空间换时间）longfib3(intn){longx=0,y=1;for(intj=1;j

8、ibonacci[n-1]+Fibonacci[n-2](n>=2)可以将它写成矩阵乘法形式：将右边连续的展开就得到：标准文档实用文案下面就是要用O(log(n))的算法计算：显然用二分法来求