1-2 第1课时 等差数列的概念及通项公式

1-2 第1课时 等差数列的概念及通项公式

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1、§2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例,理解等差数列的概念,并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系,能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义,并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点:等差数列的概念.难点:等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义(1)关于等差数列定义的理解,关键注意以下几个方面:①如果一个数列,不是从第2项起,而是从

2、第3项起或第4项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这些常数不一定相同,当这些常数不同时,此数列不是等差数列.③求公差时,要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).(2)如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数n,an+1-an是同一个常数(或an-an-1(n>1)是同一个常数).这里所说的常数

3、是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式:an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列,可举一个特例进行否定,也可以证明an+1-an或an-an-1(n>1)不是常数,而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式(1)通项公式的推导常用方法:方法一(叠加法):∵{an}是等差数列,∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得:an-a1=(n-1)d,∴an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法):∵{an

4、}是等差数列,∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三(逐差法):∵{an}是等差数列,则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意:等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法,应注意体会并应用.(2)通项公式的变形公式在等差数列{an}中,若m,n∈N+,则an=am+(n-m)d.推导如下:∵对任意的m,n∈N+,在等差数列中,有am=a

5、1+(m-1)d   ①an=a1+(n-1)d   ②由②-①得an-am=(n-m)d,∴an=am+(n-m)d.注意:将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d,从函数角度来看,an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时),其图像是一条射线上一些间距相等的点,其中公差d是该射线所在直线的斜率,从上面的变形公式可以知道,d=(n≠m).(3)通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中

6、的一项,可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是些正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.当d<0时,{an}为递减数列,如图(乙)所示.当d=0时,{an}为常数列,如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做数a与b的等差中项.注意:(1)等差

7、中项A=a,A,b成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,那么b=,2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;(3)用递推关系an+1=(an+an+2)给出的数列是等差数列,an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的    是    ,我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做    .3.等差数列的判断方法(1)要证明数列{an}是等差数列,只要证明:当n≥2时

8、,    .(2)如果an+1=对任意的正整数n都成立,那么数列{an}是    .(3)若a,A,b成等差数列,则A=    .4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式为,它的推广通项公式为.5.等差数列的单调性当d>0时,{an}是数列;当d=0时,{an}是数列;当d<0时,{an}是数列.[答案

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